3.5. Косвенные измерения

При косвенных измерениях погрешность результата зависит от погрешности каждого из прямых измерений.

Результат косвенного измерения определяется расчетом по измеренным значениям и заранее известной функции

(3.15)

Так как каждое , где измерено с соответствующей погрешностью , то задача расчета погрешности результата косвенного измерения сводится к суммированию всех k погрешностей измерения . При этом доля отдельных погрешностей в результирующей погрешности может быть различной в зависимости от вида функции и соотношения между собой независимых переменных х_i.

Например, пусть , но и . В этом случае погрешность в 1%, допущенная при измерении внесет в результат Z относительную погрешность всего в 0,01%, но такая же погрешность в 1%, допущенная при измерении , практически полностью войдет в погрешность результата Z.

При функции вида независимо от соотношения между собой и , погрешность измерения полностью входит в погрешность , а погрешность измерения – только 1/5 своей частью и т.д.

Так как возможные функции и соотношения , могут быть самыми разнообразными, то для определения чувствительности погрешности к изменению погрешностей используют общий прием, заключающийся в определении частных производных функции. Выражение (3.15) с учетом погрешностей запишем в следующем виде

(3.16)

Разложим эту функцию в ряд Тейлора

Полагая, что погрешности второго порядка пренебрежимо малы, можем записать

Отсюда, так как , то

Полученные таким путем значения при данном сочетании можно рассматривать как веса, с которыми в суммарную абсолютную погрешность входят составляющие в виде абсолютных погрешностей измерения каждого из . Отсюда составляющая абсолютной погрешности , возникающая от абсолютной погрешности будет равна .

Аналогично этому, если известны среднеквадратичные отклонения (СКО) случайной абсолютной погрешности отдельных , то СКО результирующей абсолютной погрешности будет . Суммарная погрешность или СКО равна

(3.17)

Для коррелированных составляющих и результирующая погрешность определяется как их алгебраическая сумма, но с учетом весов

(3.18)

Особенностью метода частных производных для расчета результирующей погрешности результата косвенных измерений является то, что он правомерен только для абсолютных погрешностей. Относительные их значения должны находится соответствующим пересчетом.

Для простейших функций метод частных производных приводится к ряду простых соотношений, которые могут быть сформулированы в виде легко запоминающихся правил.

Так, для функции вида все частные производные равны единице и поэтому

и (3.19)

то есть абсолютная погрешность суммы просто равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.

Однако, относительная погрешность суммы равна

, (3.20)

то есть является сложной функцией, зависящей не только от погрешностей слагаемых, но и от сочетания значений самих измеренных слагаемых.

Для функции вида наоборот, относительная погрешность очень просто выражается через относительные погрешности аргументов . Действительно, если уравнение этой функции прологарифмировать, то получим

и после дифференцирования

.

Заменяя дифференциалы малыми конечными приращениями (чем погрешность по существу и является), получим

, (3.21)

или . (3.22)

то есть относительная погрешность произведения просто равна сумме относительных погрешностей сомножителей. Зато абсолютная погрешность в этом случае равна

,

то есть зависит не только от значений но и от сочетания значений .

Сформулированные простейшие правила определения погрешности результата косвенного измерения распространяются не только на сумму и произведение , но и на их разность и отношение.

Но если при этом погрешности рассматриваются как случайные, то получаемые при дифференцировании знаки производных не должны учитываться при суммировании составляющих, если только они не являются взаимно коррелированными.

Так, например, для функции вида частные производные равны соответственно

, , , .

Отсюда

,

но для некоррелированных погрешностей

.

Таким образом, дисперсия разности двух СВ равна не разности, а сумме их дисперсий. Поэтому, несмотря на отрицательные знаки частных производных, погрешности составляющих должны не вычитаться, а складываться.

То же самое должно производится при расчете относительной погрешности не произведения, а частного.

Хотя, например, для функции вида после логарифмирования относительные погрешности должны всегда складываться, если только они жестко не коррелированы.

Использованный выше прием логарифмирования и последующего дифференцирования функции с целью вывода формулы для удобно использовать во всех случаях, когда это оказывается возможным.

Например, для ранее приведенной функции , и , где и – относительные значения СКО погрешностей и .

Если , то и СКО относительной погрешности будет и так далее.

Итогом проведенного рассмотрения является то, что расчет погрешности результатов косвенных измерений складывается из двух этапов.

1-й этап – вывод формулы для абсолютной или относительной погрешности результата косвенного измерения, исходя из вида функции .

2-й этап – расчет погрешности Z в соответствии с полученной формулой путем суммирования ее составляющих по правилам суммирования случайных погрешностей с учетом корреляционных связей и их законов распределения.

Пример 3.4. Известно, что коэффициент деления входного измерительного делителя напряжения равен , где номинальные значения , ,. В результате прямых измерений сопротивлений, которые выпускаются с относительной погрешностью 5%, измерить (найти) косвенным методом погрешность коэффициента деления.

Решение. Погрешность коэффициента деления определяем методом частных производных по выражению

.

Поскольку величины сопротивлений не коррелированы между собой, то получаемые выражения для погрешностей надо суммировать, то есть брать по модулю.

По условию задачи даны относительные погрешности сопротивлений, , поэтому надо абсолютные погрешности привести к относительным .

В полученном выражении каждое слагаемое умножим и разделим на сопротивление, соответствующее погрешности R_i, получим

.