2.4. Точечные оценки законов распределения
На практике все результаты измерений и случайные погрешности являются величинами дискретными. При использовании дискретных СВ возникает задача нахождения точечных оценок параметров их функций распределения на основании статистической совокупности, которая в этом случае называется выборкой. Выборка должна быть репрезентативной (представительной), то есть должна хорошо представлять генеральную совокупность.
Генеральная совокупность - статистическая совокупность, содержащая в себе все возможные значения СВ.
Оценка параметра называется точечной, если она выражается одним числом. Точечная оценка может быть состоятельной, несмещенной и эффективной.
Состоятельной называется оценка, которая при увеличении объема выборки стремится по вероятности к истинному значению числовой характеристики.
Несмещенной называется оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемой числовой характеристике.
Эффективной называется несмещенная оценка, имеющая наименьшую дисперсию из нескольких оценок.
Точечной оценкой математического ожидания(МО) результата измерений является среднее арифметическое значение измеряемой величины
,
(2.34)
где n – объем выборки; хi – значение СВ.
При любом законе распределения оно является состоятельной и несмещенной оценкой, а также наиболее эффективной по критерию наименьших квадратов.
Точечная оценка дисперсии (состоятельная и несмещенная) определяется по формуле
.
(2.35)
Среднее квадратическое отклонение(СКО) СВ определяется как корень квадратный из дисперсии. Однако операция извлечения корня является нелинейной процедурой и приводит к смещенности получаемой таким образом оценки. Для исправления оценки СКО вводится поправочный множитель k(n), зависящий от числа наблюдений (объема выборки n). Он изменяется от k(3) = 1,13 до k() 1,03. Тогда оценка СКО
.
Полученные
оценки МО и СКО являются СВ. Это
проявляется в том, что при
повторениях серий из n
наблюдений каждый раз будут получаться
различные оценки
и
.
Рассеивание этих
оценок целесообразно оценивать с
помощью СКО
и
.
Оценка СКО среднего арифметического
значения
(2.36)
Оценка СКО среднего квадратического отклонения
Отсюда относительная погрешность определения СКО может быть оценена как
Она зависит только от эксцесса и числа наблюдений в выборке и не зависит от СКО, то есть той точности, с которой производятся измерения.
Ввиду того, что
большое число измерений проводится
относительно редко, погрешность
определения σ
может быть весьма существенной. В любом
случае она больше погрешности из-за
смещенности оценки, обусловленной
извлечением квадратного корня и
устраняемой поправочным множителем
.
В связи с этим на практике пренебрегают
учетом смещенности оценки СКО отдельных
наблюдений и определяют его по формуле
(2.37)
то есть считают
.
Иногда оказывается удобнее использовать следующую формулу для расчета оценок СКО отдельных наблюдений и результата измерения
(2.38)
Точечные оценки других параметров распределений используются значительно реже. Оценки коэффициента асимметрии и эксцесса находятся по формулам
,
(2.39)
.
(2.40)
Точечные оценки других параметров распределений (коэффициента асимметрии, эксцесса) используются значительно реже.