2.2.1.2. Характеристики рассеивания
К этим характеристикам относятся центральные моменты.
Центральным
моментом
– го порядка распределения СВ называется
число
,
определяемое по формуле
- для дискретных
СВ
(2.9)
- для непрерывных
СВ
Среди центральных моментов, большое значение имеет второй центральный момент, называемый дисперсий D
(2.10)
и являющийся
числовой характеристикой рассевания
(мерой рассевания) СВ относительно
математического ожидания.
Чаще в качестве меры рассеивания
используют среднее квадратическое
отклонение (СКО)
(2.11)
Оно имеет такую же размерность, как и математическое ожидание, то есть размерность СВ.
Для примера на рис. 2.2 показан вид нормального распределения при различных значениях СКО.
Заметим, что математическое ожидание и дисперсия являются наиболее часто применяемыми моментами, так как они определяют важные черты распределений: положение центра и степень разбросанности результатов относительно него.
Для более подробного описания распределений используются моменты более высоких порядков.
Третий
центральный момент
характеризует асимметрию, то есть
скошенность распределения:
например, когда один спад крутой, а
другой пологий
(2.12)
Для симметричных
относительно центра распределений он
равен нулю. Третий момент имеет
размерность куба СВ, поэтому для
относительной характеристики асимметрии
используют безразмерный коэффициент
асимметрии,
равный
.
Для нормального распределения
коэффициент асимметрии равен нулю. Вид
законов распределения при различных
значениях коэффициента асимметрии
показан на рис.2.3.
Четвертый
центральный момент
характеризует протяженность распределения,
при этом выявляется плоско или
островершинность распределения.
.
(2.13)
Его относительное значение называется эксцессом распределения
(2.14)
и для разных законов может иметь значения от 1 (для дискретного двузначного) до ∞ (для распределения Коши).
Для островершинного
треугольного распределения
=
2,4, а для кругловершинного нормального
= 3. На рис.2.4. показан вид дифференциальной
функции распределения при различных
значениях эксцесса.
Для удобства используют контрэксцесс, меняющийся для любых распределений от 0 до 1.
(2.15)
Для нормального
закона
= 0,577
