1. Понятие первообразной функции

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке Х, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство F′(x) = f(x).

Теорема 12. Если F(x) – первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, то любая другая первообразная для f(x) на том же промежутке может быть представлена в виде F(x) + C, где С – произвольная постоянная.

2. Неопределенный интеграл.

Определение. Если функция F(x) – первообразная для функции f(x), то множество функций F(x) + C, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом

= F(x) + C.

При этом функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, а переменная х – переменной интегрирования.

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Вычисление интегралов с помощью таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределённых интегралов называется непосредственным интегрированием.

Теорема 13. Пусть функция x = t определена и дифференцируема на некотором промежутке T и пусть X  множество значений этой функции, на котором определена функция fx, т.е. на Т определена сложная функция f[t]. Тогда если на множестве X функция f(x) имеет первообразную F(x), то справедлива формула

fxdx_{x = t} = ft’tdt (1)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.