Министерство иностранных дел Российской Федерации
Колледж министерства иностранных дел российской федерации
(ФБУ СПО Колледж МИД России)
Кафедра специальных и общепрофессиональных дисциплин
Цикловая комиссия по информатике
Математика
Реферат на тему: Основные понятия математического анализа
Выполнила: Харьковская Е.С.
Группа:22
Преподаватель: Колганова Н.И.
Москва - выпуск 2012
Оглавление
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ 4
ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ 4
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 6
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ 6
2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 6
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ 6
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 6
2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ 7
3. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ 8
ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 9
ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 9
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ 11
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ 11
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ И ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 11
ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ N-ГО ПОРЯДКА 13
ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИЙ. 13
ОТЫСКАНИЕ ТОЧЕК ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ 14
НАПРАВЛЕНИЕ ВЫПУКЛОСТИ И ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ГРАФИКА ФУНКЦИИ 16
СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ 17
ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 17
1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ 18
2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. 18
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 19
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Определение.
Число А называется пределом функции
f(x) в точке
(или при
),
если для любого числа
>0
существует такое, что для всех х,
принадлежащих Х,
,
удовлетворяющих неравенству
<
,
выполняется неравенство
.
Символически
это записывается так:
.
ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
Теорема 1. Пусть функции f(х) и g(х) имеют в точке пределы В и С. Тогда функция f(x) ± g(x) имеет в точке х0 предел, равный В + С, т.е.
Теорема
2. Пусть
функции f(x)
и g(x) имеют
в точке х0 пределы В и С. Тогда
функция
имеет в точке х0 предел, равный
,
т.е.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
где f(x) = C – постоянный множитель.
В самом деле,
так как
(см. пример 1 п.1.).
Теорема
3. Пусть
функции f(x)
и g(x) имеют
в точке х0 пределы В и С. Тогда
функция
(при С≠0) имеет в точке х0 предел,
равный
т.е.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
1. Определение непрерывности функции
Пусть на
некотором промежутке
определена
функция
и точка
принадлежит этому промежутку.
Определение.
Функция
называется непрерывной в точке
,
если предел функции и ее значение в этой
точке равны, т.е.
2. Непрерывность элементарных функций
Все функции, получаемые с помощью конечного числа арифметических действий над простейшими элементарными функциями, а также суперпозицией этих функций, составляют класс элементарных функций.
Теорема
2.4. Пусть функции
и
непрерывны в точке
.
Тогда функции
,
и
также непрерывны в этой точке (последняя
при
).
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
1. Определение производной
Пусть на
некотором промежутке X
определена функция
.
Возьмём любую точку
из X и придадим аргументу
x в точке
произвольное приращение
такое,
что точка
также
будет принадлежать X.
Функция получит приращение
Определение.
Производной функции
в точке
называется предел при
отношение приращения функции в этой
точке к приращению аргумента (при
условии, что этот предел существует).
Символически это записывается так:
или
,
или,
вспоминая, что
и
,
.