Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
шпоргалка / shpargalki_po_kursu_teoriya_avtomaticheskogo_upravleniya.doc
Скачиваний:
229
Добавлен:
22.02.2014
Размер:
3.52 Mб
Скачать

2.1 Общие сведения о линейных системах

Наиболее общей и наиболее полной формой математического описания автоматических систем и их элементов является дифференциальное уравнение вида

a0 d ny(t)/dt n + a1d n-1y(t)/dt n-1 + . . . + any(t) =

b0 d mx(t)/dtm + b1d m-1x(t)/dtm-1 + . . . + bm x(t), (2.1)

где x(t) и y(t) – входная и выходная величины элемента или системы; ai , bi – коэффициенты уравнения.

Уравнение (2.1) устанавливает связь между входной и выходной величиной как в переходных, так и в установившихся режимах.

Коэффициенты дифференциального уравнения называются параметрами.Они зависят от различных физических констант, характеризующих скорость протекания процессов в элементах.

В большинстве практических случаев коэффициенты уравнения существенно не изменяются и системы являются системами с постоянными параметрами. Для автоматических систем управления, описываемых линейным уравнением, справедлив принцип наложения или суперпозиции, согласно которому изменение выходной величины y(t), возникающее при действии на систему нескольких входных сигналов xi(t), равно сумме изменений yi(t) величины y(t), вызываемых каждым сигналом в отдельности. Иногда параметры некоторых элементов систем изменяются во времени. Такую систему называют нестационарной или системой с переменными параметрами.

Любые преобразования сигналов сопровождаются изменением их спектра и по характеру этих изменений разделяются на два вида: линейные и нелинейные. К нелинейным относят изменения, при которых в составе спектра сигналов появляются новые гармонические составляющие. При линейных изменениях сигналов изменяются амплитуды и/или начальные фазы гармонических составляющих спектра. Оба вида изменений могут происходить как с сохранением полезной информации, так и с ее искажением. Это зависит не только от характера изменения спектра сигналов, но и от спектрального состава самой полезной информации.

Линейные системы составляют основной класс систем обработки сигналов. Термин линейности означает, что система преобразования сигналов должна иметь произвольную, но в обязательном порядке линейную связь между входным сигналом (возбуждением) и выходным сигналом (откликом). В нелинейных системах связь между входным и выходным сигналом определяется произвольным нелинейным законом.

Система считается линейной, если в пределах установленной области входных и выходных сигналов ее реакция на входные сигналы аддитивна (выполняется принцип суперпозиции сигналов) и однородна (выполняется принцип пропорционального подобия).

Принцип аддитивности требует, чтобы реакция на сумму двух входных сигналов была равна сумме реакций на каждый сигнал в отдельности:

T[a(t)+b(t)] = T[a(t)]+T[b(t)].

Принцип однородности или пропорционального подобия требует сохранения однозначности масштаба преобразования при любой амплитуде входного сигнала:

T[ca(t)]=cT[a(t)].

Другими словами, отклик линейной системы на взвешенную сумму входных сигналов должен быть равен взвешенной сумме откликов на отдельные входные сигналы независимо от их количества и для любых весовых коэффициентов, в том числе комплексных.

То есть система считается линейной, если динамические процессы в ней описываются линейными дифференциальными или разностными уравнениями. Например, уравнение динамики линейной системы в векторно-матричной форме имеют вид:

z’=Az(t)+Bx(t),y(t)=Cz(t)+Dx(t)

при наличии временного запаздывания τ по каналу входного воздействия:

z’=Az(t)+Bx(t- τ),

где x,y,z– векторы фазовых координат;A,B,C,D– матрицы параметров соотв. воздействий

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке шпоргалка