2.1 Общие сведения о линейных системах

Наиболее общей и наиболее полной формой математического описания автоматических систем и их элементов является дифференциальное уравнение вида

a₀ d ⁿy(t)/dt ⁿ + a₁d ^n-1y(t)/dt ^n-1 + . . . + a_ny(t) =

b₀ d ^mx(t)/dt^m + b₁d ^m-1x(t)/dt^m-1 + . . . + b_m x(t), (2.1)

где x(t) и y(t) – входная и выходная величины элемента или системы; a_{i ,} b_i – коэффициенты уравнения.

Уравнение (2.1) устанавливает связь между входной и выходной величиной как в переходных, так и в установившихся режимах.

Коэффициенты дифференциального уравнения называются параметрами.Они зависят от различных физических констант, характеризующих скорость протекания процессов в элементах.

В большинстве практических случаев коэффициенты уравнения существенно не изменяются и системы являются системами с постоянными параметрами. Для автоматических систем управления, описываемых линейным уравнением, справедлив принцип наложения или суперпозиции, согласно которому изменение выходной величины y(t), возникающее при действии на систему нескольких входных сигналов x_i(t), равно сумме изменений y_i(t) величины y(t), вызываемых каждым сигналом в отдельности. Иногда параметры некоторых элементов систем изменяются во времени. Такую систему называют нестационарной или системой с переменными параметрами.

Любые преобразования сигналов сопровождаются изменением их спектра и по характеру этих изменений разделяются на два вида: линейные и нелинейные. К нелинейным относят изменения, при которых в составе спектра сигналов появляются новые гармонические составляющие. При линейных изменениях сигналов изменяются амплитуды и/или начальные фазы гармонических составляющих спектра. Оба вида изменений могут происходить как с сохранением полезной информации, так и с ее искажением. Это зависит не только от характера изменения спектра сигналов, но и от спектрального состава самой полезной информации.

Линейные системы составляют основной класс систем обработки сигналов. Термин линейности означает, что система преобразования сигналов должна иметь произвольную, но в обязательном порядке линейную связь между входным сигналом (возбуждением) и выходным сигналом (откликом). В нелинейных системах связь между входным и выходным сигналом определяется произвольным нелинейным законом.

Система считается линейной, если в пределах установленной области входных и выходных сигналов ее реакция на входные сигналы аддитивна (выполняется принцип суперпозиции сигналов) и однородна (выполняется принцип пропорционального подобия).

Принцип аддитивности требует, чтобы реакция на сумму двух входных сигналов была равна сумме реакций на каждый сигнал в отдельности:

T[a(t)+b(t)] = T[a(t)]+T[b(t)].

Принцип однородности или пропорционального подобия требует сохранения однозначности масштаба преобразования при любой амплитуде входного сигнала:

T[ca(t)]=cT[a(t)].

Другими словами, отклик линейной системы на взвешенную сумму входных сигналов должен быть равен взвешенной сумме откликов на отдельные входные сигналы независимо от их количества и для любых весовых коэффициентов, в том числе комплексных.

То есть система считается линейной, если динамические процессы в ней описываются линейными дифференциальными или разностными уравнениями. Например, уравнение динамики линейной системы в векторно-матричной форме имеют вид:

z’=Az(t)+Bx(t),y(t)=Cz(t)+Dx(t)

при наличии временного запаздывания τ по каналу входного воздействия:

z’=Az(t)+Bx(t- τ),

где x,y,z– векторы фазовых координат;A,B,C,D– матрицы параметров соотв. воздействий