38. Динамика продольного движения. Уравнения движения

Рассмотрим продольное движение ЛА (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Продольное движение летательного аппарата

Выберем систему координат с началом в центре масс ЛА, направив осьпо касательной, а осьпо нормали к траектории. Проецируя силы, действующие на ЛА, на оси координат, получим

; (4.3)

, (4.4)

где – масса,– сила тяги,– сила тяжести,– угол наклона траектории,– сила лобового сопротивления,– подъемная сила,– скоростной напор,и– соответственно коэффициенты лобового сопротивления и подъемной силы,– площадь крыльев,и– возмущения.

Уравнение моментов относительно поперечной оси имеет вид

, (4.5)

где ,и– соответственно суммарный момент аэродинамических сил, действующий относительно поперечной оси, проходящей через центр масс, момент инерции относительно той же оси и возмущающий момент,– коэффициент момента тангажа,– длина средней аэродинамической хорды крыла.

Добавим к этим уравнениям кинематические уравнения

; (4.6)

; (4.7)

, (4.8)

где и– соответственно высота полета и пройденное расстояние.

Возмущающие силы ии момент, действующие на ЛА, обусловлены горизонтальными и вертикальными порывами ветра (характеризуемыми величинамии), изменениями веса(сброс грузов и др.), импульсными возмущениями,,, вызванными разрывами вблизи ЛА и др.

Система дифференциальных уравнений (4.3) – (4.8) является нелинейной математической моделью продольного движения летательного аппарата. Линеаризуем полученную систему нелинейных уравнений относительно некоторого невозмущенно режима полета с параметрами ,,,,. При этом получим систему линейных уравнений в приращениях,,,,, которая имеет вид (в этой системе вместо приращенийизаписаны соответственнои, имеющие смысл тех же приращений):

;

;

;

, (4.9)

где ,,,– аэродинамическая постоянная ЛА,– коэффициенты,– возмущения,,,,,,,– расстояние центра масс сбрасываемого груза до центра масс ЛА.

Входящие в уравнение (4.9) коэффициенты являются известными функциями времени. В короткие промежутки, не превосходящие постоянную времениболее чем на один порядок, их можно считать постоянными. В таблице 4.1 даны значения этих коэффициентов для легкого, среднего и тяжелого самолетов для случая прямолинейного горизонтального полета с постоянной скоростью. Коэффициенты уравнений (4.9) безразмерны, поэтому по ним трудно судить об изменении динамических характеристик ЛА по режимам полета. Для учета влияния режимов полета на динамику самолета рассмотрим размерные коэффициенты, которые связаны с коэффициентамисоотношениями:

; ;;

; ;;. (4.10)

Поскольку постоянная времени зависит от скорости полета и плотности воздуха (высоты), то все размерные коэффициенты меняются по режимам полета.

39. Часные случаи продольного движения

Частные случаи продольного движения. Передаточные функции и частотные характеристики ЛА

При полете с незначительным изменением высоты членами ,,в уравнениях (4.9) можно пренебречь. При этом первые три уравнения системы (4.9) могут быть исследованы независимо от последнего уравнения. Если предположить, что ручка управления двигателей и руль высоты зажаты (), а внешние возмущения отсутствуют (), то получим систему, описывающую собственные движения ЛА:

;

;

. (4.11)

Характеристическое уравнение этой системы

(4.12)

имеет четыре корня, которые могут быть либо вещественными, либо попарно сопряженными комплексными. Обычно одна пара корней по абсолютной величине значительно больше (более чем на порядок) второй пары. Пара больших корней соответствует так называемому короткопериодическому движению, т.е. угловому колебанию ЛА относительно центра масс. При этом изменяются углы атаки и тангажа, а скорость полета неизменна. Пара малых корней характеризует длиннопериодическое (фугоидное) движение, при котором изменяются скорость полета и угол тангажа. При фугоидном движении сумма моментов относительно поперечно оси равна нулю.

Для рассмотрения короткопериодического движения положим . Тогда в случае горизонтального полета из системы (4.9) получим

;

; (4.13)

Из уравнений (4.13) путем преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях можно получить передаточные функции самолета по углам тангажа и атаки:

; (4.14)

, (4.15)

где – комплексная переменная преобразования Лапласа,,.

Из выражений (4.14), (4.15) следует, что ЛА по отношению к углу атаки является колебательным звеном, тогда как по отношению к углу тангажаего передаточная функция может быть представлена в виде последовательного соединения колебательного, форсирующего и интегрирующего звеньев.

Для получения частотных характеристик ЛА положим в выражениях (4.14), (4.15) , где– относительная частота, связанная с частотойсоотношением. Тогда амплитудные и фазовые частотные характеристики будут определяться выражениями:

;

; (4.16)

;

. (4.17)

Оценим ширину области существенных частот ЛА, для чего условимся считать существенными такие частоты, при которых амплитуда колебаний угла атаки составляет 5% от амплитуды на нулевой частоте. Из выражения (4.17) получаем наибольшую частоту из области существенных частот:

. (4.18)

Расчеты показывают, что для самолетов область существенных частот не превышает 1–1,5 Гц.

Уравнения длиннопериодического движения можно получить из системы (4.9), если учесть равновесие моментов относительно поперечной оси и условие горизонтального полета:

;

;

. (4.19)

Особенности этого движения определяются свойствами характеристического уравнения системы (4.19):

, (4.20)

где ;.

Если предположить, что угловые координаты истабилизированы быстродействующим автопилотом, тои вместо системы (4.19) получим:

. (4.21)

Тогда передаточная функция самолета по скорости полета ():

. (4.22)