2.8 Центр масс твердого тела

Рассмотрим твердое тело произвольной геометрии и распределения масс. Разобьем мысленно тело на малые (не обязательно одинаковые) элементы и пронумеруем их. Допустим, что к некоторому элементу тела с номером i и массой m_i приложена внешняя сила и кроме этого действуют внутренние силы со стороны остальных элементов тела . Под воздействием результирующей всех сил, приложенных к рассматриваемому элементу тела, будет происходить движение в соответствии со II законом Ньютона:

,

где – сумма всех внутренних сил, действующих на элемент c номером i со стороны всех остальных элементов тела;

– масса и ускорение элемента тела с номером i.

Проведем суммирование по всем элементам тела. При суммировании внутренние силы взаимно сокращаются, так как всякой силе, действующей на элемент тела i со стороны элемента j, согласно III закону Ньютона, имеется равная и противоположно направленная сила, действующая на элемент j со стороны элемента i. Сумма всех внешних сил (результирующая сила) будет равна:

. (13)

Рассмотрим теперь точку, радиус-вектор которой

,

где M – масса всего тела. Назовем эту точку центром масс тела. Смысл этого термина выясняется ниже.

Дважды продифференцируем последнее выражение по времени:

. (14)

Из сравнения (13) и (14) следует, что

.

Так как , является ускорением центра масс тела, то последнее соотношение означает, что центр масс движется в соответствии со II законом Ньютона, причем движение происходит так, как если бы вся масса тела была сосредоточена в точке центра масс.

Рассмотрим теперь замкнутую (изолированную) систему тел. В замкнутой системе (сумма всех внешних сил равна нулю), поэтому центр масс будет либо двигаться прямолинейно и равномерно либо оставаться в покое. Внутренние силы, при этом, между отдельными частями системы могут и не равняться нулю, но как только что было показано, они не могут повлиять на движение центра масс, но влияют на движение отдельных тел, составляющих систему.

Заметим также, что вместо термина «центр масс» иногда используется термин «центр инерции».

В ряде случаев задача отыскания положения центра масс может быть упрощена. Так, например, если рассматривается движение твердого тела, обладающего тем или иным типом симметрии, то можно указать на пространственное положение центра масс и без детальных расчетов. Приведем некоторые примеры:- центр масс однородного по плотности шара совпадает с его центром; центр масс тонкого однородного по плотности стержня расположен на его середине; три материальные точки одинаковой массы, расположенные в вершинах жесткого равностороннего треугольника имеют центр масс в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника и т.д.

Решение задач по определению положения центра масс некоторого тела может быть упрощена, если находить отдельно все три проекции радиус-вектора центра масс.

В качестве примера, рассмотрим два шара массами m₁ и m₂ находящимися на фиксированном расстоянии l друг от друга и найдем центр масс этой системы (рис.9). Каждый шар можно рассматривать как материальную точку с массой, расположенной в его центре.

Рис.9

Направим ось X вдоль прямой проходящей через центры шаров, а начало координат поместим на расстоянии а от левого шара. Тогда координату X_c центра масс можно записать в виде:

.

Если поместить начало координат в центр первого шара (т.е. положить а = 0), то выражение для X_c будет иметь более простой вид

.

В частном случае, когда m₁ = m₂, Х_с = l/2, т.е. для одинаковых шаров центр масс будет находиться в точке, расположенной посередине между шарами.