2.2 Обчислення потоку векторного поля

Оскільки , , , то

П=.

Поверхневі інтеграли можна обчислювати за допомогою подвійних інтегралів. Нехай функція неперервна в усіх точках поверхні , яка задана рівнянням . Точки , де область – проекція даної поверхні на координатну площину . Виберемо верхню сторону поверхні , де нормаль до поверхні утворює з віссю гострий кут. Тоді

(2.9)

При обчисленні в функції змінну необхідно виразити через змінні та , використовуючи рівняння поверхні . Отже, маємо:

(2.10)

Формула (2.10) виражає поверхневий інтеграл за змінними та через подвійний. Якщо вибрати нижню сторону поверхні (нормаль до поверхні утворює тупий кут з віссю ), то одержаний подвійний інтеграл беруть із знаком «мінус», тому

(2.11)

Аналогічно

; (2.12)

. (2.13)

В загальному випадку для обчислення потоку можна скористатися формулою:

(2.14)

де – проекції поверхні на відповідні координатні площини.

Правильність вибору знаків перед подвійними інтегралами формули (2.14) можна перевірити за допомогою формули

(2.15)

яка визначає одиничний нормальний вектор до поверхні . Подвійний інтеграл у цій формулі відповідає двом сторонам поверхні . Знак перед подвійним інтегралом збігається із знаком відповідного напрямного косинуса нормалі :

; ; . (2.16)

Якщо поверхня неоднозначно проектується на яку-небудь координатну площину, то цю поверхню розбивають на частини, а інтеграл, який міститься у лівій частині рівності (2.14), – на суму інтегралів по одержаних частинах поверхні.

Для обчислення потоку векторного поля через поверхню можна використовувати також одну із формул:

П,

П,

П.

Термін «потік векторного поля» має фізичне походження. Вкажемо приклади фізичних величин, які обчислюються за допомогою формули (2.14):

а) Якщо векторне поле розглядати як поле швидкостей рухомої рідини, то її потік через поверхню дорівнює кількості рідини, що протікає через цю поверхню за одиницю часу у напрямку зовнішньої нормалі. Якщо потік через замкнену поверхню додатний, то це означає, що з частини простору, обмеженого цією поверхнею, витікає більше рідини, ніж затікає в неї. Такий результат пояснюється тим, що всередині закненої поверхні існують джерела, що виділяють рідину. Якщо потік від’ємний, то всередину поверхні затікає більше рідини, ніж витікає з неї. Такий результат означає, що всередині поверхні є стоки, які поглинають рідину.

б) Потік тепла має напрям і є векторною величиною. Довжина вектора потоку тепла вимірює кількість тепла, що протікає через одиницю площі за одиницю часу. Повний тепловий потік назовні через поверхню також визначається за формулою (2.14)

Приклад 2.1 Обчислити інтеграл

якщо – зовнішня сторона трикутника, утвореного перетином площини з координатними площинами (рис. 2.2а)

Розв’язування

За формулою (2.14) знайдемо проекції поверхні на координатні площини:

(рис. 2.2, б);

(рис. 2.2, в);

(рис. 2.2, г).

Визначимо нормальний вектор до поверхні :

; , , . За формулою (2.15)

. Оскільки за формулами (2.16)

а) б) в) г)

Рисунок 2.2

, , , то перед подвійними інтегралами у формулах (2.11) і (2.12) треба брати знак «плюс», а перед подвійним інтегралом у формулі (2.13) – знак «мінус». Отже,

П риклад 2.2 Обчислити потік вектора через повну поверхню циліндра (рис. 2.3).

Рисунок 2.3