Розв’язування

Оскільки , то за формулою (3.26) маємо:

.

Зауваження. Якщо , то

. (3.27)

Зв’язок між подвійними та криволінійними інтегралами встановлює формула Гріна. Нехай функції та неперервні разом із своїми частинними похідними та в деякій правильній області , обмеженій замкненим контуром . Тоді справедлива рівність:

(3.28)

Зрозуміло, що значення криволінійного інтеграла залежить, певною мірою, від кривої інтегрування. Якщо значення криволінійного інтеграла залишається однаковим вздовж усіх можливих кривих, які сполучають початкову та кінцеву точки кривої інтегрування, то кажуть, що криволінійний інтеграл не залежить від форми шляху інтегрування. З’ясуємо умови, за яких існує така незалежність.

Нехай в усіх точках області функції та неперервні разом із частинними похідними та . Для того, щоб криволінійний інтеграл вздовж довільного замкненого контуру дорівнював нулю (значення криволінійного інтеграла не залежало від кривої інтегрування) необхідно і достатньо, щоб =.

Дійсно, розглянемо довільний замкнений контур і для нього запишемо формулу Гріна:

Якщо виконується умова =, то , тобто .

З іншого боку припустимо, що , але принаймні в одній точці . Тоді в цій точці маємо нерівність –. Тобто, для будь-якого як завгодно малого додатного числа виконується нерівність – в усіх точках деякої малої області (причому точка ). Тоді

, де – площа області . Але за формулою Гріна , а згідно з нашим припущенням . Отже, наше припущення неправильне і =.

Нехай координати вектора мають неперервні частинні похідні першого порядку, а – замкнений, гладкий (або кусково-гладкий) контур. Натягнемо на контур гладку (або кусково-гладку) поверхню , яка задається рівнянням . Виберемо верхню сторону даної поверхні (рис. 3.2).

Рисунок 3.2

Тоді буде мати місце таке співвідношення:

, (3.29)

яке називають формулою Стокса.

Доведемо цю формулу. Розглянемо інтеграл . Оскільки контур лежить на поверхні , то координати його точок задовольняють рівняння , тому

.

Застосовуючи до знайденого інтеграла формулу Гріна (3.28), дістанемо

.

Оскільки ми обрали верхню сторону поверхні , тобто , то нормаль має проекції , , 1. Але напрямні косинуси нормалі пропорційні відповідним проекціям, тому , тоді

.

Отже,

. (3.30)

Аналогічним чином можна довести, що при відповідних умовах справедливі формули:

, (3.31)

. (3.32)

Додаючи почленно рівності (3.30) – (3.32),

. (3.33)

Приклад 3.10 Знайти циркуляцію векторного поля вздовж контура , що обмежує трикутник , утворений при перерізі площини з координатними площинами:

а) безпосередньо;

б) за формулою Стокса.