Тема 2 поняття векторного поля та його потоку

Якщо в кожній точці простору чи площини задано вектор

,

де є функції точки , то кажуть, що задано векторне поле .

Однією з важливих характеристик векторного поля є векторні лінії.

Векторною, називається лінія, в кожній точці якої дотична до неї паралельна вектору поля. Позначимо через вектор дотичної. Тоді рівняння векторної лінії таке

. (2.1)

Ще однією особливою характеристикою векторного поля є потік векторного поля.

2.1 Потік векторного поля

Н ехай – поле швидкостей рухомої рідини, а – деяка гладка поверхня (рис. 2.1).

Рисунок 2.1

Введемо поняття сторони поверхні. Візьмемо на гладкій поверхні довільну точку , проведемо в цій точці нормаль до поверхні певного напряму і розглянемо на даній поверхні довільний замкнений контур, який виходить з точки і повертається в цю ж точку, не перетинаючи при цьому межі поверхні . Переміщатимемо точку по замкненому контуру разом з вектором так, щоб цей вектор весь час залишався нормальним до даної поверхні. При обході заданого контуру ми можемо повернутися в точку з тим самим або протилежним напрямом нормалі.

Якщо у довільну точку поверхні після обходу довільного замкненого контуру, розміщеного на цій поверхні, який не перетинає її межу, ми повертаємось з початковим напрямом нормалі , то таку поверхню називають двосторонньою. Прикладами таких поверхонь є площина та сфера.

Якщо при обході деякого контуру поверхні напрям нормалі змінюється на протилежний, то таку поверхню називають односторонньою. Прикладом односторонньої поверхні є так званий лист Мебіуса. Модель цієї поверхні можна дістати, якщо прямокутну смужку паперу , перекрутивши один раз склеїти так, щоб точка збігалась з точкою , а точка – з .

Двосторонню поверхню називають орієнтованою, а вибір певної її сторони орієнтацією поверхні. Спрямувавши в кожній точці замкненої поверхні нормаль всередину об’єму, обмеженого поверхнею, дістанемо внутрішню сторону поверхні, а спрямувавши нормаль зовні поверхні – зовнішню її сторону. Надалі розглядатимемо двосторонні поверхні. Односторонні поверхні неорієнтовані.

Поставимо задачу обчислення кількості рідини, що протікає через поверхню за одиницю часу. Якщо вектор в кожній точці поверхні має однаковий напрям та модуль, то кількість рідини, що протікає через цю поверхню за одиницю часу, визначається за формулою:

, (2.2)

де – площа поверхні ,

– кут між вектором і нормаллю до поверхні .

Формулу (2.2) можна подати у вигляді:

, (2.3)

де – проекція вектора на напрям нормалі до поверхні .

У випадку криволінійної поверхні та змінного вектора обчислити кількість рідини, що протікає через поверхню за одиницю часу, за формулами (2.2) або (2.3) неможливо.

Для обчислення кількості рідини, що протікає через поверхню за одиницю часу, розіб’ємо цю поверхню неперервними кривими на досить малих частин так, щоб зміною вектора та напряму нормалі усередині кожної частини можна було б знехтувати.

Позначимо через площу і-ої частини , яку вважаємо частиною площини з напрямом нормалі . Виберемо усередині цієї частини довільну точку та будемо вважати, що в усіх точках цієї частини вектор дорівнює . Тоді кількість рідини, що протікає через і-у частину за одиницю часу, можна обчислити за наближеною формулою:

,

а кількість рідини, що протікає через всю поверхню за одиницю часу, дорівнює:

Тоді одержуємо наближену формулу

(2.4)

Похибка цієї наближеної формули прямує до нуля при необмеженому зменшенні діаметрів усіх частин, на які розбита поверхня . Позначивши через максимальний діаметр , перейдемо в рівності (2.4) до границі при . Тоді маємо:

(2.5)

Якщо границя (2.5) існує і не залежить ні від способу розбиття поверхні на частини, ні від способу вибору точок , то її називають поверхневим інтегралом і позначають символом:

, тобто

. (2.6)

Якщо підінтегральна функція у формулі (2.6) є проекцією вектора на напрям нормалі до поверхні , то такий поверхневий інтеграл називається потоком векторного поля через поверхню , причому

. (2.7)

Підінтегральний вираз у формулі (2.6) може бути записаний у векторній формі. Введемо вектор , напрям якого збігається з напрямом нормалі, а модуль дорівнює елементарній площі поверхні , тоді

,

тому потік

. (2.8)

Відмітимо основні властивості потоку векторного поля.

1. Якщо , то

,

де – площа поверхні .

2. При зміні напряму нормалі потік змінює лише знак.

3. .

4. де

5. Якщо поверхня розбита деякою кривою на дві частини та , то

.