Розв’язування
Градієнт скалярного поля обчислимо за формулою (1.9). Для цього знайдемо частинні похідні скалярного поля за кожною змінною:
.
Обчислимо значення
частинних похідних в точці
,
дістанемо:
Отже,
,
або
Обчислимо величину градієнта скалярного поля за формулою (1.11), маємо:
Таким чином,
найбільша швидкість зростання скалярного
поля
в точці
досягається у напрямі вектора
і дорівнює
Питання для самоперевірки
-
Що називається скалярним полем?
-
Наведіть приклади скалярних полів.
-
Дайте означення похідної за напрямом.
-
Виведіть формулу для похідної за напрямом.
-
У чому полягає фізичний зміст похідної за напрямом?
-
Дайте означення градієнта скалярного поля.
-
Доведіть теорему про зв’язок градієнта і похідної за напрямом.
-
Сформулюйте і доведіть властивості градієнта.
-
У чому полягає фізичний зміст градієнта?
-
Як означаються напрямні косинуси вектора?
-
Дайте означення поверхонь та ліній рівня.
-
Дайте визначення скалярного добутку векторів та сформулюйте його властивості.
Завдання для самостійної роботи
Завдання 1.1
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в
напрямі, що йде від цієї точки до точки
.
-
Знайти швидкість зміни скалярного поля
в точці
в
напрямі, що йде від цієї точки до точки
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в
точці
в
напрямі, що утворює з віссю
кут
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в напрямі, що утворює з віссю
кут
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в
напрямі від цієї точки до точки
. -
Знайти похідну скалярного поля
в
точці
в
напрямі бісектриси першого координатного
кута.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в
напрямі від цієї точки до початку
координат.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в
напрямі від цієї точки до початку
координат.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в
напрямі вектора
,
який утворює з осями координат кути
причому
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в
точці
в
напрямі від цієї точки до точки
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в
напрямі, що утворює з осями координат
кути відповідно
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в
напрямі вектора
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в
напрямі вектора
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в
напрямі вектора
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в напрямі від цієї точки до точки
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в напрямі вектора
. -
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в напрямі від цієї точки до початку
координат. -
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в напрямі вектора
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в
точці
в напрямі вектора
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в
напрямі вектора
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в напрямі від цієї точки до точки
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в напрямі вектора
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в напрямі вектора
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в напрямі вектора
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в напрямі вектора
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в напрямі від цієї точки до точки
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в напрямі вектора
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в напрямі від цієї точки до точки
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в напрямі вектора
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в
точці
в напрямі вектора
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в напрямі вектора
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в
напрямі вектора
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в напрямі від цієї точки до точки
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в
напрямі від цієї точки до точки
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в напрямі вектора
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в напрямі вектора
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в напрямі бісектриси першого координатного
кута.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в напрямі від цієї точки до точки
.
-
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в напрямі вектора
. -
Знайти похідну скалярного поля
в точці
в напрямі від цієї точки до точки
.
Завдання 1.2
Знайти величину і напрям градієнта скалярного поля U в точці М1
|
|
|
|
|
