Тема 4 сПеЦіальні типи полів

4.1 Потенціальні векторні поля

Векторне поле називається потенціальним, якщо існує така скалярна функція , що скрізь виконується рівність:

. (4.1)

При цьому, функцію називають потенціалом поля.

Звертаємо увагу на те, що досить часто потенціал визначається формулою Іноді, для відокремлення цих двох підходів, застосовують терміни «потенціал» і «потенціальна функція», однак така термінологія не є загальноприйнятою. Тому при прочитанні роботи, у якій застосовують потенціали, необхідно уточнювати, в якому з цих двох сенсів застосовується дане поняття.

Оскільки градієнт постійного скалярного поля дорівнює нулю, то потенціал довільного поля, якщо він існує, визначений із точністю до постійного доданка. Підбираючи цей доданок, можна пронормувати потенціал, наприклад, зробивши це значення рівним нулю в деякій заданій точці. Найчастіше потенціал нормують умовою рівності нулю на безмежності – якщо там потенціал має скінченне значення.

Відмітимо деякі властивості потенціальних полів.

1. .

2. Циркуляція векторного поля вздовж довільного замкненого контура дорівнює нулю, тобто

.

3. Криволінійний (лінійний) інтеграл векторного поля уздовж лінії не залежить від форми лінії, а визначається лише положенням точок та .

4. Вираз

є повним диференціалом потенціала поля . При цьому , , – координати вектора (проекції цього вектора на координатні осі).

Прикладами потенціальних полів є гравітаційне поле, електричне поле, створене точковим зарядом, тощо.

Потенціал векторного поля обчислюють за формулою:

. (4.1)

К риволінійний інтеграл обчилюється вздовж ламаної , ланки якої паралельні осям координат (рис. 4.1).

Рисунок 4.1

За початкову точку беруть точку , а за кінцеву – точку . В цьому випадку

.

На відрізку , який паралельний осі , . Тоді

.

На відрізку , який паралельний осі , . Тоді

.

На відрізку , який паралельний осі , . Тоді

.

Таким чином,

. (4.2)

Зауваження. Якщо функції неперервні в точці (0, 0, 0), то за початкову точку можна взяти початок координат.

Приклад 4.1 Перевірити, чи векторне поле

є потенціальним і знайти його потенціал.

Розв’язування

Умовою потенціальності полів є рівність: . Обчислимо ротор векторного поля:

. Отже, дане векторне поле є потенціальним.

Знайдемо його потенціал за формулою (4.2). Маємо

,

тобто

, де .

4.2 Соленоїдні (трубчасті) поля

Векторне поле називається соленоїдним, якщо існує таке поле , що

.

При цьому вектор називають векторним потенціалом поля .

Відмітимо деякі властивості соленоїдних полів.

1. .

2. Потік вектора через будь-яку замкнену поверхню дорівнює нулю.

3. Векторні лінії соленоїдного поля замкнені.

4. Соленоїдне поле не має ні джерел, ні стоків.

Розглянемо центрально-симетричне поле в просторі, визначене формулою

, (4.3)

де , , .

З означення дивергенції легко знайти, що . Зокрема, такі поля без джерел поза початком координат характеризуються тим, що , звідки .

Це так званий закон Кулона, який застосовується в теорії електичних та магнітних взаємодій. Потік такого поля через довільну сферу з центром в початку координат дорівнює , тобто, не залежить від . Іншими словами, в початку координат у даному випадку починаються векторних ліній, що йдуть у безмежність.

Однак точкове джерело має густину , тобто ми одержуємо важливу формулу

.

Аналогічний розгляд плоского центрально-симетричного поля виду (4.3) з дає, що якщо в початку координат немає джерел, то ,

.

В результаті ми одержуємо картину, яку можна тлумачити як точкове джерело векторних ліній на площині, або як джерело, розповсюджене у просторі вздовж осі з густиною на одиницю довжини.

Диполь одержується накладанням джерела і стоку однакової густини, розташованих у нескінченній близькості один від одного. Однак якщо при цьому густина джерела та стоку залишаються скінченними, то їх поля взаємно знищуються. Тому вказані густини повинні бути настільки великими, щоб добуток густини джерела на відстань між джерелом та стоком (цей добуток називається моментом диполя) залишався скінченним. Слід відмітити, що диполь має вісь, яка проходить через джерело та стік у напрямі від останнього до першого.

Розглянемо векторне поле для випадку диполя (рис. 4.2), де – вісь диполя.

Рисунок 4.2

При достатньо малому в будь-якій точці будемо мати

, (4.4)

де – момент диполя. Спрощуючи праву частину (4.4) отримуємо

.

Аналогічно, розгляд диполя плоского поля дає результат

.

Якщо для простоти вважати, що вісь збігається з віссю , то поле в декартових координатах набуває вигляду

.

Інтегрування рівняння для векторних ліній дає (рис. 4.3).

Рисунок 4.3

Приклад 4.2 Перевірити, чи векторне поле , де , , , є соленоїдним.