Розв’язування

Знайдемо ротор векторного поля:

тобто і обчислимо його значення в точці . Маємо .

Найбільша густина циркуляції векторного поля в точці досягається в напрямі і дорівнює , тобто

.

3.4. Оператор Гамільтона

Векторно-диференціальний оператор називають оператором Гамільтона і позначають символом (набла), тобто

. (3.14)

Оператор має властивості як вектора, так і оператора диференціювання. Дія оператора на скалярне поле та довільний вектор здійснюється так:

, (3.15)

, (3.16)

. (3.17)

При застосуванні оператора потрібно користуватись правилами векторної алгебри та правилами диференціювання. Наприклад,

(3.18)

оскільки множення на скаляр та диференціювання мають властивість лінійності. В той же час у формулі (3.18) не можна вважати, що є скалярним полем, оскільки тоді ми винесли змінну величину за знак похідної. В загальному випадку маємо:

.

Приклад 3.5 Задано скалярне поле . Визначити ротор і дивергенцію векторного поля .

Розв’язування

Знайдемо координати вектора :

Обчислимо ротор векторного поля:

, тобто .

Обчислимо дивергенцію векторного поля:

.

3.5 Диференціальні операції другого порядку

Після застосування диференціальних операцій до поля одержуємо нове поле, до якого можна знову застосовувати ці операції. Звичайно, не всі комбінації диференціальних операцій мають сенс. Наприклад, не має сенсу комбінація , оскільки утворює скалярне поле, від якого вже не можна взяти дивергенцію. За допомогою комбінації операцій можна одержати п’ять диференціальних операцій другого порядку:

(3.19)

Почнемо з другої комбінації. Її можна записати у вигляді . Але для вектора та скаляра . Це означає, якщо замість в ліву частину останньої рівності підставити його розвинення за декартовими осями координат і здійснити обчислення за формальними правилами векторної алгебри, то ми одержимо нуль. Але обчислення комбінації відбувається за тими ж формальними правилами, тільки замість потрібно взяти . Це означає, що у будь-яких випадках

. (3.20)

Аналогічно перевіряємо, що завжди

. (3.21)

Ця проста властивість має важливий наслідок: для довільного поля поряд із векторними лініями можна розглядати вихрові лінії, тобто векторні лінії поля . Однак дивергенція будь-якого векторного поля дорівнює густині джерел векторних ліній цього поля. Тому формула (3.21) показує, що вихрові лінії не можуть мати ні джерел, ні стоків, тобто вони не можуть ні починатися, ні закінчуватися.

Першу комбінацію (3.19) можна записати у вигляді , де – скалярний диференціальний оператор другого порядку

,

який називається оператором Лапласа (лапласіаном) і іноді позначається символом . Тобто

. (3.22)

Нарешті, розглянемо останню комбінацію (3.19). Використовуючи формулу для векторно-векторного добутку та розташувавши множники так, щоб набли діяли на поле, одержимо

. (3.23)

Приклад 3.6 Обчислити , якщо .