Розв’язування

Знайдемо векторне поле :

. Тобто

.

Знайдемо дивергенцію даного векторного поля. Оскільки

, , ,

то

, , .

Таким чином, дивергенція даного векторного поля за формулою (3.9) набуває такого вигляду:

Обчислимо дивергенцію векторного поля в заданих точках, маємо:

;

;

.

Оскільки , а і , то в точці векторне поле має стік, а в точках і – джерела.

Приклад 3.2 Напруженість поля точкового електричного заряду на відстані від цього заряду

,

де – радіус-вектор, проведений з заряду у довільну точку . Визначити потік вектора через довільну замкнену поверхню, яка не охоплює заряд .

Розв’язування

Для обчислення потоку вектора через довільну замкнену поверхню, яка не охоплює заряд , скористаємось формулою Остроградського-Гаусса, записаною з використанням поняття дивергенції векторного поля. Маємо:

.

Вважатимемо, що заряд розмішений у початку координат, а точка має координати та . Тоді радіус-вектор , а його модуль .

Тому рівність набуває вигляду:

,

а

, , .

Знайдемо тепер , та .

,

але , а .

Тому

.

Аналогічно

, .

Таким чином, дивергенція векторного поля така:

.

П=.

3.3 Проекція ротора векторного поля на вектор нормалі та ротор векторного поля

Нехай задано векторне поле . Виберемо в просторі деякий плоский замкнений контур і позначимо через – вектор нормалі до площини, в якій лежить цей контур. Криволінійний інтеграл

(3.10)

називається циркуляцією векторного поля уздовж контура .

Позначимо площу поверхні, обмеженої контуром . Виберемо усередині отриманої плоскої фігури довільну точку і шляхом неперервної деформації будемо стягувати контур в цю точку, не змінюючи напрям нормалі . Тоді

(3.11)

називається проекцією ротора векторного поля в точці у напрямі нормалі і позначається , тобто:

. (3.12)

Загалом, характеризує густину циркуляції векторного поля. У випадку поля швидкостей рухомої рідини проекція ротора векторного поля в точці у напрямі нормалі характеризує інтенсивність обертального руху. Зокрема, якщо рух ламінарний, то у кожній точці дорівнює нулю. Вектор, у напрямі якого досягає максимального значення і модуль якого дорівнює цьому максимальному значенню, називають ротором (вихором) векторного поля і позначають .

Модуль та напрям ротора в загальному випадку змінюються при переході від однієї точки простору до іншої. Формула для обчислення ротора в декартових координатах має вигляд:

.(3.13)

Приклад 3.3 Обчислити ротор векторного поля .

Розв’язування

. Тобто .

Приклад 3.4 Обчислити найбільшу густину циркуляції векторного поля в точці .