![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Журавлев ю.И., Флеров ю.А. Дискретный анализ
- •Элементы комбинаторики.
- •Введение
- •Два принципа комбинаторики
- •Функции и размещения
- •Числа Стирлинга первого рода
- •Циклическая структура перестановок
- •Упорядоченные размещения.
- •Сочетания и биномиальные коэффициенты.
- •Производящие функции
- •Биномиальные коэффициенты
- •Исчисление конечных разностей
- •Разложения
- •Полиномиальные коэффициенты
- •Разбиения
- •Число разбиений
- •1. Формула 1.
- •2. Формула 2.
- •Числа Белла.
- •Принцип включений - исключений
- •Задача о числе беспорядков (Задача о встречах)
- •Количество сюръективных отображений
- •Перестановки с ограничениями на местоположение
- •Системы представителей множеств
- •Системы различных представителей
- •Системы общих представителей
- •Функции алгебры логики
- •Элементарные высказывания
- •Элементарные логические операции (функции)
- •Алгебраические свойства элементарных операций
- •Разложение функций алгебры логики по переменным
- •Функциональная полнота систем функций алгебры логики
- •1. Замена переменных.
- •2. Суперпозиция функций алгебры логики.
- •Замкнутые классы.
- •Критерий полноты
- •Представление о результатах Поста
- •Элементы теории графов
- •Степени вершин
- •О машинном представлении графов.
- •Поиск в графе
- •Поиск в глубину в графе
- •Поиск в ширину в графе
- •Пути и циклы
- •Связность
- •Деревья
- •Остовное дерево (каркас)
- •Эйлеровы пути и циклы
- •Aлгоритм построения эйлерова цикла
- •Гамильтоновы пути и циклы
- •Нахождение кратчайших путей в графе
- •Алгоритм нахождения расстояния от источника до всех остальных вершин в ориентированном графе с неотрицательными весами ребер
- •Максимальный поток в сети
- •Рекомендуемая литература.
- •Оглавление
1. Формула 1.
(1.13)
Числа
S(n, k) играют
обратную роль по отношению к числам
s(n, k) - позволяют перейти от базиса 1,
x, x2,...
к базису
Доказательство.
Рассмотрим всевозможные отображения
множества X из
n элементов (
|X| = n) во множество
Y из m
элементов (|Y|
= m). С одной стороны, по утверждению
1 .1 количество таких отображений есть
mn
. С другой стороны, каждое такое отображение
есть сюръективное отображение множества
X на подмножество
BY.
Для произвольного подмножества B
Y, где |B|
= k
n число сюръективных функций f:
X
B
в соответствии с утверждением 1 .12 равно
k! S(n,k). Учитывая, что подмножество B
мощности k
можно выбрать
способами получаем формулу:
(1.14)
Равенство ( 1 .14) можно рассматривать как равенство двух многочленов переменной x при всех целых положительных значениях x = m. Следовательно, эти многочлены тождественно равны между собой, так как их разность может быть либо тождественным нулем, либо должна иметь бесконечное число нулей, что невозможно. Справедливость формулы ( 1 .13) доказана.
2. Формула 2.
Доказательство.
Рассмотрим множество всех разбиений
множества X={1, 2,
..., n+1} на m
классов. Количество таких разбиений
есть S(n+1, m). Все
разбиения распадаются на различные
типы, соответствующие разным подмножествам
множества X,
содержащим элемент n+1.
Для каждого k-
элементного подмножества B
X, содержащего элемент n+1,
существует в точности S(n+1
k, m-1) разбиений множества X
на m-1 класс,
содержащих B
в качестве класса. Действительно, каждое
такое разбиение однозначно соответствует
разбиению множества X
\ B на m-1
класс. k -
элементное подмножество B
X, содержащее элемент n+1
можно выбрать
способами.
Таким образом имеем:
3. Вернемся еще раз к связи комбинаторных объектов с исчислением конечных разностей. Из формулы ( 1 .13) следует, что, например,
, (1.15)
откуда заключаем на основании разложения ( 1 .8):
1! S(4, 1) = 1, 2! S(4, 2)=14, 3! S(4, 3) = 36, 4! S(4, 4) = 24.
Указанная связь дает альтернативный способ вычисления последовательности S(n, k).
-
Числа Белла.
Определение.
Общее число разбиений множества X, |X| = n на произвольные классы называется числом Белла и обозначается B(n). Таким образом по определению:
.
Положим по определению B(0) = 1.
Формула 3.
.
Доказательство. Напомним, что S(n, m)= 0 при m>n.
Тогда имеем следующую последовательность очевидных равенств:
-
Принцип включений - исключений
Этот раздел посвящен важному комбинаторному методу - принципу включений-исключений, известному также под названиями: символический метод, принцип перекрестной классификации, метод решета. Логическое тождество, на котором основаны все эти методы, известны давно. Еще в 1713 году Монмор эффективно использовал упомянутый метод в решении знаменитой задачи о встречах (о числе перестановок из n элементов, в которых ни один элемент не сохраняет своей позиции).
Принцип включений - исключений - одно из фундаментальных средств перечислительной комбинаторики. Красота этого принципа лежит не в самом результате, а в его широкой применимости.
Принцип включений-исключений в перечислительной комбинаторике есть метод определения мощности множества S, который начинает с большего множества и каким-либо путем вычитает или аннулирует нежелательные элементы. Сначала дается приблизительный ответ, содержащий большее число элементов, затем вычитается число элементов, большее чем ошибка, полученная на первом шаге, пока мы не придем к правильному ответу. Это комбинаторная сущность принципа включения-исключения.
Для примера рассмотрим принцип включений- исключений в теоретико множественной форме.
Пусть даны два конечных множества A и B.
Тогда
AB= A + B AB.
Чтобы вычислить количество элементов в объединении двух множеств, мы сначала вычисляем сумму их мощностей, но при этом дважды учитываем каждый элемент, принадлежащий пересечению множеств. Вычитая мощность пересечения, приходим к правильному ответу.
Совершенно аналогичные рассуждения позволяют выписать формулу для количества элементов в объединении трех множеств A, B, и C:
ABС= A + B +С AB AС BC + ABC.
Вычитая дважды учтенные элементы попарных пересечений, мы трижды вычли элементы, принадлежащие пересечению всех трех множеств. Добавление мощности пересечения ABC приводит к нужному результату.
Пусть имеется N объектов и n различных свойств n. Каждый из объектов может обладать любым из этих свойств (в любом наборе), т.е. обладать любым набором этих свойств, или не обладать никаким из свойств.
Пусть N(1) - число объектов обладающих свойством 1. Некоторые из этих объектов могут обладать и другими свойствами в дополнение к 1, но это неважно. (На самом деле в этом и состоит вся идея метода включений-исключений). Пусть теперь N(2) - число объектов, обладающих свойством 2 , и так далее. Соответственно, через N(1, 2) обозначим количество объектов, обладающих двумя свойствами: свойством 1 и свойством 2 .
В общем
случае пусть N-
число объектов, обладающих свойствами
(и,
быть может, некоторыми другими).
Пусть N0 - число предметов, не обладающих ни одним из свойств n.
Пусть
-
число объектов, не обладающих свойством
1
. Чертой над символом свойства будем
указывать, что речь идет об объектах,
не обладающих таким свойством. Тогда в
принятом обозначении N0
= =
.
Теорема 1.13. ( Формула включений - исключений).
. (1.16)
Прежде, чем переходить к доказательству, вернемся к ранее рассмотренному примеру с тремя множествами A, B, C. Пусть свойством 1 обладают все элементы множества A, свойством 2 обладают все элементы множества B, свойством 3 - все элементы, принадлежащие множеству C. Тогда очевидно, что количество элементов, не обладающих ни одним из свойств 1 , 2 , 3 , равно 0 (каждый элемент принадлежит хотя бы одному из множеств), и в соответствии с формулой ( 1 .16) имеем
Доказательство. Доказательство проводится индукцией по n - числу свойств. При одном свойстве формула очевидна. Каждый объект либо обладает этим свойством, либо не обладает им. Поэтому N0 = N N().
Предположим теперь, что для случая, когда число свойств равно n1, формула доказана:
N0 = N - N() - ... - N(n-1) + N(Nn-2, n-1) + + (-1)n-1 N(n-1). (1.17)
Отметим очевидное соотношение:
(1.18)
Формула
( 1 .17) по предположению справедлива для
любой совокупности объектов. В частности
она верна для совокупности
элементов, обладающих свойством n.
Применим индуктивное предположение к
совокупности N(n)
для вычисления
:
(1.19)
Вычтем равенство ( 1 .19) из ( 1 .17). В правой части получим то, что нужно - правую часть формулы включения-исключения, а в левой части получим разность ( 1 .18). Тем самым формула ( 1 .16) доказана.
Для того, чтобы облегчить всестороннее использование этой формулы, сделаем следующие замечания. Во-первых, лучше всего она запоминается в следующей “символической записи”:
Сначала вычисляется содержимое квадратных скобок, а затем знак функции N применяется к слагаемым:
NN
N[-
N[(
Далее, как видно из доказательства формулы включений - исключений, совокупности объектов, к которым применима теорема, не обязана быть совокупностью N всех объектов. Поэтому
Вообще,
если n различных
свойств n
объектов из совокупности N
объектов
обозначить
,
то
.
Рассмотрим
принцип включений- исключений в несколько
более общей форме. Пусть
S - множество свойств, которыми
элементы данного множества A
могут обладать, а могут не обладать. Для
любого подмножества T
множества S, TS,
пусть N=(T)
- число объектов множества A,
которые обладают в точности свойствами
из T (так что
они не обладают никакими другими
свойствами из
).
Пусть N(T)
- число объектов множества A,
обладающих по меньшей мере свойствами
из T (и, возможно,
какими-то другими свойствами). Ясно, что
тогда
, (1.20)
, (1.21)
,
где Y пробегает все подмножества множества S.
В типичных приложениях принципа включений-исключений относительно легко вычислить N (Y) для YS, так что нами получена окончательная формула для N= (T).
Распространенным частным случаем принципа включения-исключения является выполнение условия N=(T) = N=(T), как только T = T . В рассматриваемом частном случае количество объектов, обладающих в точности заданным множеством свойств, зависит не от конкретного набора свойств, а только от числа рассматриваемых свойств. таким образом, N(T) зависит также только от T и мы полагаем
a(n i) = N=(T) (1.22)
и
b(n i) = N(T), (1.23)
если T = i.
Из формул ( 1 .20) и ( 1 .21) получаем, что формулы
, (1.24)
и
,
(1.25)
эквивалентны. Это еще одно отражение комбинаторных соотношений взаимности.