2. Системы общих представителей

Идея замены множеств их представителями оказалась плодотворной и получила последующее развитие. Системы представителей выделяются с учетом условий задач или целей теоретических обобщений. Например, задачи о разбиении множеств привели к понятию систем общих (одновременных) представителей.

Пусть даны два различных разбиения одного и того же множества S на n непересекающихся непустых подмножеств:

S = A₁  A₂  ...  A_n = B₁  ...  B_n ;

A_i  A_j = , ij, i,j [n];

B_i  B_j = , ij, i,j [n].

Если существует подмножество O  S, состоящее из n различных элементов x₁ ,..., x_n , которые являются одновременными представителями множеств A_i и B_j то оно называется системой общих представителей (с.о.п.).

Теорема 1.22. Два разбиения множества S, S = A₁  A₂  ...  A_n и S =B₁  ...  B_n тогда и только тогда имеют с.о.п., когда любые m из множеств B_i содержатся не менее, чем в m из множеств A_j , m n.

Доказательство. Необходимость, как и в случае c.р.п., очевидна. Достаточность доказывается простым сведением к теореме о с.р.п..

Рассмотрим A₁ , ... , A_n  S.

Для каждого B_i , i =1,2, ... , m определим множество S_i , состоящее из A_j ( j = 1, ... , m ) с такими индексами j , что A_jB_i не пусто.

S_i = {A_j | A_jB_i  }.

Получим M(S) = {S₁ , S₂ ,..., S_n}.

Для M(S) существует с.р.п. .

Выбор различных представителей для каждого B_i дает свое A_j , причем пересечение между ними не пусто. В этом пересечении можно выбрать хотя бы один элемент, общий для A_j и B_i , т.е. общего представителя.

2. Функции алгебры логики

Согласно одному из самых распространенных определений, логика есть анализ методов рассуждений. Изучая эти методы, логика прежде всего интересуется формой доводов, а не их содержанием в том или ином рассуждении. Практические приложения методов математической логики к проектированию и эксплуатации вычислительных и управляющих систем хорошо известны.

“Вытекает ли истинность заключения из истинности посылок?” - таков основной вопрос математической логики. Необходимо исследовать язык логики и математики, чтобы разобраться в том, какие в ней могут быть употреблены символы, как из этих символов составляются утверждения и доказательства, что может и что не может быть доказано, если исходить из тех или иных аксиом и правил вывода. Содержанием математической логики является изучение языка математики. Разумеется, забота о языке и постоянная его перестройка для приведения в соответствие с меняющимся состоянием знаний характерна для любой естественной науки(достаточно вспомнить “флогистон” и “мировой эфир” в физике). Тем не менее, то пристальное критическое рассмотрение, которому математика подвергла свои средства выражения и самое себя, представляется уникальным.

Причина этого заключается, конечно, в том, что все остальные науки имеют предметом изучения внешний по отношению к ним реальный мир, и эволюция языка науки определяется постоянным сравнением научного описания с описываемой реальностью. Попытка применить эту же схему к математике сразу наталкивается на принципиальные трудности: в каком смысле числа и множества реальны? Соль же неясным при внимательном рассмотрении становится ответ на вопрос, что есть истинность математического рассуждения. Положение дел здесь можно сравнить с понятием “элементарной частицы” в физике. Элементарные частицы- это не те частицы, которые являются последними кирпичиками анализа,- скорее это те объекты, дальнейший анализ которых обнаруживает существенное повышение уровня сложности вместо его понижения. “Элементарность” понятия истины имеет сходные черты.

Фундаментальные результаты Геделя и других авторов называются теоремами о неполноте, неразрешимости, независимости. Такого типа результаты, представляющие очевидный общегуманитарный интерес, не имели прецедентов в развитии философской мысли до XX века, и являются существенным вкладом естественных наук в фонд гуманитарных, подчеркивая невозможность полной формализации математики и обнажая ее глубокий гуманитарный смысл.

Физическое рассуждение правильно, если полученные с его помощью выводы совпадают с реально наблюдаемыми фактами. Критерием истинности математического рассуждения является лишь его логическая безукоризненность, выполнение на всех этапах рассуждения устанавливаемых самим математиком правил вывода, относящихся к вполне определенной ветви математической науки- математической логике. При этом на сегодняшний день мы имеем вовсе не один-единственный набор правил вывода, а много разных таких наборов (аналогично существованию геометрии Евклида, геометрии Лобачевского, геометрии Римана в логике существуют такие подходы к формализации как конструктивизм, интуиционизм). Своеобразная природа математики, управляемой законами ею же самой себе указываемыми, характеризует особенность этой ветви человеческой культуры, но не ее единственность. Искусство также само себе диктует правила игры: разработанные Леонардо да Винчи и Дюрером правила перспективы, каноны построения византийских или русских икон, правила “икебана”. Эти каноны не менее непреложны и жестки, чем аксиомы геометрии, и изменить эти правила может лишь выдающийся художник, подобно тому как новые области “математической вселенной” нам открывали Ньютон, Гильберт, Лобачевский, Брауэр.

Одним из основных проявлений происходящего в наши дни общенаучного переворота, связанного с внедрением ЭВМ и получившего у журналистов кодовое наименование “научно-техническая революция”, является колоссальная математическая экспансия, вторжение математики во все новые, ранее ею никак неконтролируемые территории. Математическими методами широко пользуются представители самых разных - как естественнонаучных, так и гуманитарных областей знания: биологи и филологи, экономисты и юристы. Все это сделало понимание путей использования математического аппарата во внематематических исследованиях чуть ли не одним из важнейших элементов общей культуры, а владение терминами “математическая структура” и “математическая модель” - необходимыми атрибутами образованного человека.

Предметом логики не является внешний мир, но лишь системы его осмысления. Логика одной из таких систем- математики - в силу своей нормализованности представляет подобие трафарета, который можно накладывать на любую другую систему. Соответствие или расхождение этого трафарета с системой, однако, не служит критерием ее пригодности либо мерилом ценности.

Еще Лейбниц (1789-1857) высказал идею формализации всей математики на основе создания “логического исчисления”- своеобразного математического языка. Записав все исходные допущения на таком языке специальными символами, похожими на математические, он надеялся заменить рассуждения вычислениями. В тридцатых годах нашего века Давид Гильберт выступил с программой обоснования математики на базе финитных методов математической логики. Окончательно эти надежды развеяли упомянутые выше результаты Геделя (1937) о неполноте исчисления предикатов и формальной арифметики.

Мы будем изучать одну из простейших моделей математической логики - алгебру высказываний или алгебру логики.

Первыми математическими работами, заложившими основу современной алгебры логики, были работы Джорджа Буля (1815 - 1864) и Аугстаса де Моргана (1806 - 1873). Названия этих работ несомненно заслуживают упоминания.

Джордж Буль:

“Математический анализ логики, являющийся очерком, касающимся исчисления дедуктивных рассуждений”, (1847 г.),

“Исследования законов мысли. на которых основываются математические теории логики и вероятностей”, (1854 г.).

Аугустус де Морган:

“Формальная логика или исчисление выводов, необходимых и возможных” (1847 г.).