3. Упорядоченные размещения.

Пусть x - переменная или действительное число.

Положим, по определению,

[x]ⁿ = x(x + 1)(x + 2)  (x + n  1).

Обозначение [x]ⁿ читается как “n факториал от x вверх” или “верхняя n-ая степень x”.

Определение.

Пусть X - множество из n объектов 1,2,...,n, которые должны быть размещены по m ящикам так, чтобы каждый ящик содержал бы последовательность, а не множество, как прежде, помещенных в нем объектов. Два размещения совпадают (равны), если в каждом ящике содержится одна и та же последовательность объектов. Размещения такого типа называются упорядоченными размещениями n объектов по m ящикам. 

Приведем для примера всевозможные упорядоченные размещения двух объектов 1 и 2 в двух ящиках.

Ящики будем изображать в виде последовательности вертикальных черточек , представляющих разделяющие ящики перегородки. Таким образом 21 представляет размещение, при котором в первом ящике находится элемент 2, а во втором ящике - элемент 1.

Таблица всевозможных размещений двух объектов в двух ящиках имеет следующий вид:

1 2 ; 12 ; 1 2 ;

2 1 ; 21 ; 2 1 .

Утверждение 1.6. Число упорядоченных размещений n объектов по m ящикам равно

[m]ⁿ = m(m + 1)... (m + n - 1)

(полагаем [m]^o = 1).

Доказательство. Построим сначала таблицу T_n-1 всех упорядоченных размещений объектов 1,2,...,n-1 по m ящикам. Каждое размещение

i₁ i₂ ...| i_k i_k+1 ...| ...|...|... i_n-1

можно представить как последовательность (n-1) + (m-1) символов, являющихся либо буквой i _j , либо вертикальной чертой |. Чтобы из этой последовательности получить последовательность, представляющую упорядоченное размещение n объектов в нее достаточно всеми возможными способами добавить символ n. Символ n можно добавить к этой последовательности (n-1) + (m-1) + 1 способами, помещая его перед самым первым символом, между двумя любыми символами и после последнего символа.

Таким образом

| T_n | =(m+n-1) |T_n-1| = (m+n-1)(m+n-2) ... (m+1) |T₁| = [m]ⁿ.

Очевидно, что |T₁| = 1. 

Отметим простые, часто используемые соотношения:

[m]_n = (m-n+1) [m]_n-1 ; [m]ⁿ =(m+n-1) [m]^n-1 ;

[m]_n = m! / (m-n)! ; [m]ⁿ =(m+n-1)! / (m-1)! ;

[m]ⁿ = [m+n-1]_n ; [m]ⁿ = [m]^n-1(m+n-1).

Определение.

Пусть A - алфавит (то есть конечное множество символов) со множеством букв a₁ , ... ,a_m , упорядоченных так, что

a₁ < a₂ < ...< a_m .

Cлово x₁ x₂ ... x_n длины n - монотонное, если

x₁ x₂ ... x_n . 

Пример.

Пусть A={a,b,c,d}, a < b < c < d.

Тогда монотонными будут, например, следующие слова:

aaa, aab , abc, aad, bcd, ddd .

(По несколько устаревшей терминологии, это комбинации с повторениями из m объектов, взятые по n штук).

Утверждение 1.7. Число монотонных слов длины n в алфавите из m букв равно [m] ⁿ/n! .

Доказательство.

Рассмотрим упорядоченное размещение n объектов 1,2 ,..., n по m ящикам a₁ , ... , a_m и пусть ему соответствует монотонное слово следующим образом:

.

В соответствующем слове буква a₁ написана столько раз, сколько объектов в ящике a₁ , затем буква a₂ столько раз, сколько объектов в ящике a₂ , ... .

Каждому упорядоченному размещению n объектов соответствует единственное монотонное слово. Все монотонные слова таким образом могут быть получены. Монотонному слову, с другой стороны, соответствует ровно n! различных упорядоченных размещений. Поэтому число монотонных слов есть

[m]ⁿ/n! . 

Приложение. (Задача Муавра). Найдем число способов представления целого положительного числа m как упорядоченной суммы n неотрицательных целых чисел

m = u ₁ + ...+ u _n .

Два таких представления

m=u₁ + ...+ u_n

и

m=u₁ + ...+ u_n

будем считать совпадающими тогда и только тогда, когда

u₁= u₁ , ... , u_n= u_n ,

то есть когда совпадают слагаемые и порядок их следования.

Положим значение _k равным частичной сумме первых k членов последовательности n₁ , ... , n_k : _k = n₁ + n₂ + ... + n_k . Каждому представлению m в виде суммы n слагаемых взаимно однозначно соответствует слово ₁₂..._n-1 , где 0 ₁₂ ... _n-1 m. Таким образом, количество представлений m в виде упорядоченной суммы неотрицательных целых слагаемых равно количеству монотонных слов ₁₂..._n-1 длины n-1 в алфавите из m+1 символа (_i  {0, 1, ... , m}, i = 1, ... , n-1).

Число представлений равно: