4. Сочетания и биномиальные коэффициенты.

Простейшими комбинаторными объектами являются сочетания и биномиальные коэффициенты.

Пусть дано конечное множество X , содержащее n различных элементов. Нас интересует количество различных k- элементных подмножеств, которые можно образовать из элементов множества X. Два подмножества считаются различными, если они различаются хотя бы одним входящим в них элементом.

Такие подмножества называются сочетаниями из m элементов по k элементов и обозначаются , а их количество обозначается или . Обозначение читается как “число сочетаний из m по k “ или просто “из m по k”.

Утверждение 1.8. Число различных подмножеств из k элементов множества A, |A |= m есть

Первое доказательство.

Построим таблицу T всех строго возрастающих (монотонных, без повторений букв) слов длины k в алфавите A из m букв.

Пример.

Пусть множество A состоит из пяти различных элементов:

A= {a,b,c,d,c} .

Положим k=3.

Тогда таблица T всех строго возрастающих слов длины 3 в алфавите A имеет следующий вид:

abc acd adc

abd ace

abe

bcd bde

bce

cde 

Переставим буквы в каждом слове всеми возможными способами и обозначим получившуюся таблицу T^. T^ - множество слов без повторения букв длины k в алфавите A.

В таблице T^ нет пропусков: каждое слово длины k появится в таблице T^.

В таблице T^ нет повторений: два слова из T^ либо получены из одного слова T и тогда отличаются порядком букв, либо из разных слов T и тогда различаются буквами.

По утверждению 1 .2:

| T^ | = [ m ]_k .

Поэтому

| T | = [ m ]_k / k! .

Таким образом, окончательно получаем

Второе доказательство.

Определим множество (иногда обозначаемое как-нибудь иначе) как множество всех k-элементных подмножеств (или k-подмножеств) множества S и положим по определению (игнорируя прошлое использование символа ). Подсчитаем двумя способами число N(n, k) способов, которыми можно выбрать k-подможество T множества S, а затем линейно упорядочить его элементы. Множество T мы можем выбрать способами, а затем k способами выбрать первый по порядку элемент множества T, k-1 способом - второй элемент T и так далее. Таким образом

.

С другой стороны, можно взять n способами любой элемент множества S в качестве первого, n-1 способом любой из оставшихся элементов в качестве второго и так далее, k-ый элемент можно выбрать из оставшихся n - k + 1 способом. Следовательно,

N(n, k) = n(n - 1) ... (n - k + 1).

Итак, мы дали комбинаторное доказательство того, что

,

и, следовательно,

. 

Прежде, чем двигаться дальше сделаем небольшое отступление, связанное с введением понятия производящих функций.

1. Производящие функции

Производящие функции неизменно и естественно появляются во всех разделах перечислительного комбинаторного анализа. Мы будем делать акцент на наиболее органичном применении производящих функций для получения и проверки комбинаторных тождеств, когда другие методы менее естественны или менее эффективны. Производящие функции часто применяются в качестве метода, альтернативного методу рекуррентных соотношений, в частности с их помощью выводятся взаимно обратные соотношения.

Путь задана последовательность а₁, а₂, ... , а_n, ... (неважно, конечная или бесконечная). Производящей функцией последовательности а₁, а₂, ... , а_n, ... называется функция . При этом все рассматриваемые ряды в случае бесконечной последовательности считаются формально сходящимися (если эти ряды сходятся в какой-то области к функции f(x)), поскольку мы интересуемся не областью сходимости соответствующих рядов, а лишь соотношениями между коэффициентами таких рядов.

Например, из формулы

вытекает, что функция является производящей функцией для последовательности чисел 1, 1, 1, ... , 1, ...

Возводя обе части последнего разложения в квадрат, получаем

,

откуда следует, что для последовательности 1, 2, 3, ... , n, ... производящей функцией является функция .

Нас будут интересовать производящие функции для последовательностей a₀, a₁, ... , a_n, ..., так или иначе связанных с комбинаторными задачами. С помощью производящих функций удается получать и исследовать самые разные свойства этих последовательностей.

Пусть - производящая функция последовательности b₁, b₂, ... , b_n, ... и - производящая функция последовательности c₁, c₂, ... , c_n, ... . Тогда из равенства

имеем

или в общем виде

.

В таком случае говорят, что последовательность коэффициентов c_n есть свертка (произведение Коши) последовательностей a_n и b_n.