Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
УЧЕБОЕ ПОСОБИЕ ПО ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ И.Е.Н..doc
Скачиваний:
97
Добавлен:
21.11.2018
Размер:
23.15 Mб
Скачать

1.8. Использование метода узловых потенциалов

Если исследуемая цепь имеет два узла или преобразована в подобную цепь, то в этом случае используют метод узловых потенциалов.

На рис.1.17 показана цепь, состоящая из нескольких параллельно соединённых источников ЭДС.

Обозначив потенциалы в узловых точках φa и φb, напряжение между этими точками можно выразить разностью потенциалов Uab = φa - φb.

Для упрощения принимаем указанные направления токов и ЭДС ветвей к узлу ‘‘а’’ за положительные направления. По закону Ома для к-той ветви можно написать: .

Рис.1.17. Схема “к” параллельно соединённых источников ЭДС с двумя узлами

По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в узле равна нулю, т.е. и, следовательно, или , откуда узловое напряжение определяется через параметры элементов цепи:

, (1.53)

или узловое напряжение равно алгебраической сумме произведений ЭДС и проводимостей всех параллельных ветвей, деленных на сумму проводимостей всех ветвей. Причем знаки ЭДС зависят от их направлений. Вычислив по формуле (1.53) узловое напряжение и воспользовавшись выражениями для токов в ветвях, легко определить их значения.

1.9. Метод контурных токов

Метод позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений по сравнению с числом уравнений, составляемых по законам Кирхгофа.

Рассмотрим электрическую цепь (рис.1.18), в которой выберем три независимых контура. Контуры образованы собственными контурными ветвями и общими ветвями контуров. Направления токов и ЭДС в ветвях указаны произвольно, кроме того, заданы параметры сопротивлений и ЭДС в ветвях. Необходимо определить токи ветвей. В независимых контурах произвольно выберем направления контурных токов и ЭДС, которые обозначим по номеру контура с одинаковыми двойными индексами номеров контуров.

Пусть направления контурных токов и ЭДС совпадают с направлениями токов и ЭДС собственных контурных ветвей и значения этих токов равны, т.е.

Токи в общих ветвях контуров определяются по первому закону Кирхгофа:

Рис.1.18. Электрическая схема с тремя независимыми контурами

Контурные ЭДС равны алгебраической сумме ЭДС ветвей, входящих в каждый независимый контур:

Арифметические суммы сопротивлений всех резистивных элементов, входящих в каждый из выбранных контуров, называются собственными контурными сопротивлениями, и обозначаются двойными индексами номеров контуров:

Сопротивления резистивных элементов, находящихся в общих ветвях двух контуров, называются общими сопротивлениями этих контуров:

Для определения контурных токов составим систему контурных уравнений по второму закону Кирхгофа для рассматриваемой электрической цепи, у которой три независимых контура:

(1.54)

Подставим в значения собственных и контурных сопротивлений резистивных элементов ветвей, а также в значения контурных ЭДС ветвей цепи, систему уравнений (1.54) преобразуем:

(1.55)

Систему уравнений (1.55) представим в матричной форме

AI = E, (1.56)

где А - квадратная матрица 3х3 постоянных коэффициентов значений сопротивлений при контурных токах цепи, I - вектор-столбец неизвестных контурных токов, Е - вектор-столбец постоянных коэффициентов значений контурных ЭДС цепи.

Преобразуем систему уравнений (1.56)

I = Aֿ¹E. (1.57)

Система уравнений (1.57) в раскрытой матричной форме будет иметь вид:

В среде MATLAB выражение (1.57) будет иметь вид:

I = inv (A)*E, (1.58)

где inv(A) - инверсия матрицы А; E - вектор-столбец значений ЭДС цепи.

После подстановки значений сопротивлений и ЭДС ветвей цепи, компьютер выдаст численное решение неизвестных значений контурных токов цепи:,,, по которым легко определяются значения токов ветвей цепи.