Определитель

27. Пусть A — квадратная матрица второго порядка, B — квадратная матрица третьего порядка. Выразить следующие определители через определители матриц A и B:

28. Определитель 4-го порядка во второй строке имеет элементы x₁, x₂, x₃, x₄. Некто разложил этот определитель по элементам названной строки: 2x₁ + 3x₂ + 4x₃ + 5x₄.

Найти дополнительные миноры к элементам второй строки.

29. Некто вычислил дополнительные миноры к элементам второй строки определителя 4-го порядка: 1, 2, 3, 4. Элементы третьей строки этого определителя равны: a, b, c, d. Вычислить -a + 2b - 3c + 4d.

30. Вычислить

31. Известно, что квадратные матрицы A, B целочисленные и C = AB, С = 10. Найти |A|, |B|, если все элементы второго столбца матрицы A четны, элементы третьей строки B делятся на 5 и оба определителя положительны.

32. Все элементы определителя 3-го порядка равны ±1, то сам определитель будет четным числом. Доказать.

33. Все элементы определителя 4-го порядка равны ±1, то сам определитель будет делиться на 8. Доказать.

34. Вычислить определитель порядка n, элементы которого заданы условиями a_ij = min(i, j).

35. Вычислить определитель порядка n, элементы которого заданы условиями a_ij = max(i,j).

36. Выписать все члены определителя 4-го порядка, входящие в него со знаком минус.

37. Выписать все члены определителя 4-го порядка, которые содержат ровно один элемент главной диагонали. Определить их знаки.

38. Выписать все члены определителя 4-го порядка, которые содержат ровно два элемента главной диагонали. Определить их знаки.

39. Выписать все члены определителя 4-го порядка, которые не содержат ни одного элемента главной диагонали. Определить их знаки.

40. Доказать, что определитель

где a_ij ∈ Z, является целым нечетным числом.

41. Доказать, что определитель

где aij ∈ Z, является целым нечетным числом.

42. Вычислить определитель

43. Что можно сказать об определителе, у которого сумма строк с нечетными номерами равна сумме строк с четными номерами?

Действия с матрицами

44. Матрицы A, B, C D таковы, что выражение AB + BC + CD имеет смысл. Доказать, что A и D — квадратные матрицы.

45. Матрицы A, B, C обратимы. Найти матрицу, обратную к произведению ABC^-1.

46. Три квадратные матрицы обладают свойством ABC = E. Обратима ли B? Если да, то указать обратную.

47. Матрица А называется ортогональной, если транспонированная к A матрица совпадает с обратной к A. Доказать, что определитель ортогональной матрицы равен ±1.

48. Квадратная матрица A называется симметричной, если a_ij = a_ji для любых i,j. Известно, что матрицы A, B симметричны. Будут ли симметричными матрицы: AB, ABA? Ответ обосновать.

49. Квадратная матрица A называется симметричной, если a_ij = a_ji для любых i,j. Доказать, что произведение двух симметричных матриц тогда и только тогда будет симметричной матрицей, когда данные матрицы перестановочны.

50. Как изменится произведение AB матриц A и B, если переставить i-й и j-й столбцы матрицы B?

51. Вычислить выражение

52. Дана матрица

Какие из следующих матриц являются обратными к А:

53. Доказать, что любая матрица, перестановочная с заданной матрицей А, симметрична. Здесь