Программа коллоквиума по курсу «Алгебра и геометрия»

1 Семестр

Коллоквиум будет проходить в 2 этапа:

• Тестирование – оценивается в 3 балла (необходимо ответить правильно на 80% вопросов). Тест проходят все студенты.

• Устный ответ и решение задач повышенной сложности – для желающих повысить оценку за коллоквиум (4 или 5).

Для успешной сдачи теста необходимо

ЗНАТЬ

1. Матрицы и операции над ними (сложение, умножение на число, произведение, транспонирование). Свойства операций. Перестановочные матрицы.

2. Системы линейных уравнений (основные определения). Метод Гаусса.

3. Перестановки степени n. Четность перестановки. Транспозиция.

4. Определение определителя. Определители 2-го и 3–го порядков. Определитель треугольной матрицы

5. Основные свойства определителя.

6. Миноры. Алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу).

7. Определитель с углом нулей. Теорема об определителе произведения матриц.

8. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.

9. Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы. Свойства обратной матрицы.

10. Пространство строк. Операции со строками

11. Линейная зависимость и линейная независимость систем строк. Свойства систем строк.

12. Теорема о двух системах строк (основная теорема).

13. Теорема о базисах.

14. Теорема о ранге матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймления миноров.

15. Вычисление ранга матрицы путем приведения к ступенчатому виду.

16. Теорема Кронекера-Капелли.

17. Фундаментальная система решений. Теорема о числе решений в ФСР однородной СЛУ.

УМЕТЬ

1. Решать системы линейных уравнений методом Гаусса. (№№ 189-196)

2. Находить сумму и произведение матриц. Осуществлять транспонирование матрицы. (№125-135, 143-147)

3. Решать матричные уравнения. (№143-146, 174-177)

4. Определять четность перестановки.(№305-310, 313-320)

5. Вычислять определители 2-го и 3-го порядков. (№245-259, 270-280)

6. Вычислять определитель разложением по строке (столбцу) и с помощью элементарных преобразований строк (столбцов).(№ 370-377, 384-392)

7. Вычислять обратную матрицу.(№ 156, 157, 174-177)

8. Решать систему уравнений методом Крамера. (№226,227)

9. Исследовать систему строк на линейную зависимость.(№435-440,444)

10. Находить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований и с помощью метода окаймления миноров.(№474-477)

11. Находить базис системы строк. Находить координаты строки в указанном базисе.(№462-467)

12. Находить ФСР однородной СЛУ. (№236-239)

Задачи повышенной сложности Системы линейных уравнений

1. Заданная система линейных уравнений имеет матрицу коэффициентов:

Известно, что |A| = 0. Тогда указанная система линейных уравнений:

(а) совместна;

(б) несовместна;

(в) ничего определенного о ее совместности сказать нельзя. Выбрать правильный ответ. Выбор обосновать.

2. Какие из следующих утверждений неверны:

(а) Если определитель квадратной системы линейных уравнений равен нулю, то система линейных уравнений не имеет решений;

(б) Если определитель квадратной системы линейных уравнений не равен нулю, то система линейных уравнений совместна;

(в) Если определитель квадратной системы линейных уравнений равен нулю, то система линейных уравнений имеет более одного решения;

(г) Если определитель квадратной системы линейных уравнений не равен нулю, то система линейных уравнений определена?

Ответ обосновать.

3. Если ранг матрицы коэффициентов однородной системы линейных уравнений на единицу меньше числа неизвестных, то любые два решения этой системы пропорциональны. Доказать.

4. Пусть a ₁, a₂, a ₃ — произвольные решения неоднородной системы линейных уравнений. Доказать, что— решения этой же системы линейных уравнений. При каких условиях на коэффициенты данная линейная комбинация

любых решений a ₁, a₂, . . ., a_m неоднородной системы линейных уравнений снова будет решением этой системы?

5. Пусть задана система линейных уравнений, в которой число уравнений на единицу больше числа неизвестных. Доказать, что если эта система совместна, то определитель ее расширенной матрицы равен нулю.