Ранг матрицы

54. Известно, что 7×7-матрица A имеет ранг 5. Найти ранг присоединенной матрицы A*.

55. Доказать, что если все миноры порядка 3 матрицы A равны нулю, то все ее миноры 4-го порядка тоже равны нулю.

56. Известно, что rank A = 2, rank B = 1. Какие из указанных ниже равенств невозможны: (a) rank AB = 3, (б) rank AB = 2, (в) rank AB = 1, (г) rank AB = 0?

Ответ обосновать.

57. Известно, что З×З-матрица A имеет ранг 3, а 3×10 матрица имеет ранг 2. Какие из указанных ниже равенств возможны:

(a) rank AB = 5, (б) rank AB = 3, (в) rank AB = 2, (г) rank AB = 1?

Ответ обосновать.

58. Доказать, что столбцы любой 7×9-матрицы A линейно зависимы.

59. Какие из следующих утверждений неверны (ответ обосновать): Если определитель квадратной матрицы A равен нулю, то

(а) A имеет пропорциональные строки;

(б) A имеет пропорциональные столбцы;

(в) строки A линейно зависимы;

(г) столбцы A линейно зависимы. Ответ обосновать.

60. Столбцы квадратной матрицы A линейно зависимы. Что можно сказать о ее строках? Ответ обосновать.

61. Дана матрица

Вычислить произведение AА*, где A* — присоединенная к A матрица.

Обратима ли матрица A ? Доказать, что AA* = 0 тогда и только тогда, когда |A| = 0.

Тест

1. Найти элемент с₂₃ матрицы С=(А+В)^Т А, если А=, В=.

а)  1; б) 21; в) -1; г) нет верного ответа.

2. На главной диагонали матрицы 2х2 расположены единицы, а на побочной расположены двойки. Чему равен определитель такой матрицы?

   а) 4 б) -3 в) 3

3. Умножение определителя на 0 дает в результате

   0 б) 1 в) -1

4. При переходе от исходной матрицы к транспонированной матрице

   элементы главной диагонали заменяют нулями

   элементы побочной диагонали заменяют нулями

   строки и столбцы меняют местами

5. Если в матрице два столбца равны, то

   вычеркивается один из них

   вычеркивается оба столбца

   определитель равен нулю

6. Если в определителе два столбца пропорциональны, то

   этот определитель равен нулю

   один из столбцов вычеркиваем

   пропорциональные столбцы складываем

7. Если строки в определителе заменить столбцами, то

   определитель не изменится

   определитель изменится по величине

   изменится по знаку

8. Дан определитель . Две строки в определителе пропорциональны, поэтому

   общий множитель 3 можно вынести за определитель

   определитель вычислить нельзя

   определитель равен нулю

9. Вычислить определитель

   2

   4

   6

   8

   нет правильного ответа

10. Если строки в определителе поменять местами, то определитель

    изменится по величине

    изменит знак

    не изменится

11. Если в определителе две строки пропорциональны, то

    определитель равен нулю

    пропорциональную строку вычеркиваем

    определитель раскладывается на два

12. Указать правильное значение определителя:

...=1

...=0

13. Вычислить алгебраическое дополнение к элементу а₂₃ определителя :

а)  1; б) 1; в) 3; г)  3.

14. Вычислить минор, соответствующий элементу а₂₁ определителя :

а)  1; б) 1; в)  3; г) 3.

15. Вычислить элемент, стоящий на месте (3, 2) в матрице А^-1 , если А=

а) 9; б) 3; в)  3; г) 1.

16. Если определитель равен нулю, то:

а) его строки пропорциональны;

б) его столбцы пропорциональны;

в) одна из строк выражается через остальные;

г) любая строка выражается через остальные.

17. Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда

а) в определителе есть нулевой столбец;

б) два столбца определителя пропорциональны;

в) каждый столбец выражается через остальные;

г) нет верного ответа.

18. Найти число решений в ФСР однородной СЛУ, если ранг ее матрицы равен 3, а число неизвестных равно 5:

а) 3; б) 2; в) 5; г) нет верного ответа.

19. Известно, что ФСР однородной СЛУ состоит из строк (1, 1, 1) и ( 0, 1, 1). Выберите строку, которая не является решением этой СЛУ:

а) (2, 2, 2); б) (0, -3, -3); в) (1, 2, 2); г) (0, 0, 1).

20. Направляющим вектором прямой является

а) (1, 1, 2) ; б) (2, -2, 4); в) (1, -1, 3); г) (1, 1, -1).

21. Как располагаются плоскости 3x+5y-z-2=0 и 6x+10y-2z-3=0 относительно друг друга:

а) пересекаются; б) параллельны; в) совпадают; г) скрещиваются.

22. Найти скалярное произведение векторов (1, 1, 1) и (2, 2, 2):

а) (3, 3, 3); б) (2, 2, 2); в) 6; г) -6.

23. Вычислить векторное произведение векторов (1, 1, 1) и (-1, -1, -1) :

а) -3; б) 0; в) (0, 0, 0); г) (-1, -1, -1).

24. Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы

а) компланарны; б) коллинеарны; в) ортогональны; г) отложены от одной точки.

25. Векторное произведение равно нуль – вектору тогда и только тогда, когда векторы

а) компланарны; б) коллинеарны; в) ортогональны; г) нет верного ответа.

26. Нормальным вектором плоскости 2x+4y+6z+2=0 является

а) (-1, -2, -3); б) (-4, 2); в) ( 6, 4, 2); г) нет верного ответа.