Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Программа коллоквиума 1 сем.doc
Скачиваний:
5
Добавлен:
21.11.2018
Размер:
143.87 Кб
Скачать

Линейная зависимость

  1. Указать, какие из сформулированных ниже утверждений верны. Система a1, a2, . . ., an линейно зависима тогда и только тогда, когда

(а) существует тривиальная линейная комбинация этой системы, равная нулю;

(б) существует нетривиальная линейная комбинация этой системы, равная нулю;

(в) любая нетривиальная линейная комбинация этой системы равна нулю;

(г) если существует нетривиальная линейная комбинация этой системы, не равная нулю.

  1. Указать, какие из сформулированных ниже утверждений верны. Система a1, a2, . . ., an линейно независима, тогда и только тогда, когда

(а) любая линейная комбинация этой системы тривиальна;

(б) любая линейная комбинация этой системы, не равная нулю, тривиальна;

(в) любая линейная комбинация этой системы, равная нулю, тривиальна;

(г) любая нетривиальная линейная комбинация этой системы равна нулю.

  1. Известно, что Что можно сказать о системе a1, a2,..., as?

  2. Даны две системы строк:

Известно, что первая система линейно независима и каждая ее строка выражается через вторую систему. Тогда

(а) m≥ 15;

(б) m < 15;

(в) m может быть как меньше 15, так и больше 15. Выбрать правильный вариант. Ответ обосновать.

  1. Даны три системы строк

Известно, что первая выражается через вторую, а вторая — через третью.

Тогда первая система строк

(а) линейно зависима;

(б) линейно независима;

(в) может быть как линейно зависимой, так и линейно независимой.

  1. Известно, что. Доказать, что a4 выражается через a , a2, a 3.

  2. Построить векторы a , a2, a 3 так, чтобы

(а) rank (a , a2, a 3) = 2, rank (a , a2) = rank (a2, a 3) = 1;

(б) rank (a , a2, a 3) = 2, rank (a , a2) = rank (a2, a 3) = rank (a ,a 3) = 1.

  1. Даны четыре строки

Известно, что строка d не выражается через a, b, с. Тогда система a, b, с

(а) линейно независима;

(б) линейно зависима;

(в) ничего определенного о линейной зависимости этой системы сказать нельзя. Выбрать правильный вариант, ответ обосновать.

  1. Дана система строк

Доказать, что найдется строка d = (s1,s2,s3), которая не выражается через a, b, с.

  1. Доказать, что если три вектора a, b, с линейно зависимы и вектор с не выражается линейно через векторы a и b, то векторы a и b, различаются между собой лишь числовым множителем.

  2. Система векторов a, b, с линейно независима. Доказать, что если вектор b выражается через каждую подсистему этой системы из двух векторов, то b = 0.

  3. Дана линейно зависимая система из трех векторов a, b, с ∈ R3. Доказать, что найдется строка d ∈ R3, которая не выражается через систему строк a, b, с.

  4. В каком случае система векторов обладает единственным базисом?

  5. Привести пример системы из трех строк, который опровергает следующее утверждение: Если некоторая система из n строк линейно зависима, то в ней найдется линейно зависимая подсистема из n - 1 строк.

Перестановки

  1. В перестановке (i1, i2,..., in) имеется k инверсий. Сколько инверсий имеется в перестановке (in, in-1,... ,i2, i1)?

  2. Сколько инверсий образует число 1, стоящее на k-ом месте перестановки?

  3. Сколько инверсий образует число n, стоящее на k-ом месте в перестановке чисел 1, 2, 3,..., n?

  4. Чтобы получить одну нечетную перестановку из другой нечетной потребуется не менее двух транспозиций. Доказать.

  5. Привести пример таких двух нечетных перестановок, что одну из другой нельзя получить с помощью двух транспозиций. Доказать, что в этом случае для этого требуется не менее четырех транспозиций.

  6. Даны две перестановки различной четности. Доказать, что если одну из другой нельзя получить с помощью одной транспозиции, то для получения одной из другой потребуется не менее трех транспозиций.

  7. Сколько различных перестановок можно получить из данной перестановки степени n путем применения ровно одной транспозиции. Тот же вопрос для транспозиций соседних элементов.