- •Е. А. Попова с. А. Раковская элементы комбинаторики
- •© Попова е. А., Раковская с. А., 2008 оглавление
- •1. Основные понятия комбинаторики
- •1.1. «Особая примета» комбинаторных задач
- •1.2. Правила сложения и умножения
- •1.3. Размещения
- •1.4. Перестановки
- •1.5. Сочетания
- •1.6. Размещения с повторениями
- •1.7. Перестановки с повторениями
- •1.8. Сочетания с повторениями
- •2. Решение задач
- •2.1. Разные задачи
- •2.2. Профессионально-ориентированные задачи
- •10 626 «Четверок».
- •3. Использование элементов комбинаторного анализа
- •4. Задачи для самостоятельной работы
- •4.1. Разные задачи
- •4.2. Профессионально-ориентированные задачи
- •Елена Александровна Попова Светлана Анатольевна Раковская элементы комбинаторики
- •660075, Г. Красноярск, ул. Л. Прушинской, 2
10 626 «Четверок».
Ответ: 10 626.
3. Использование элементов комбинаторного анализа
ПРИ РАЗРАБОТКЕ МОЛОЧНО-БЕЛКОВЫХ ДЕСЕРТОВ
В Красноярском крае достаточно хорошо развита молочная промышленность, массово заготавливаются различные ягодные культуры, поэтому имеются широкие возможности для производства комбинированных молочно-белковых десертов с ягодными наполнителями из местного сырья [16]. В качестве наполнителей из растительного сырья было использовано ягодное пюре, полученное из брусники, клюквы, клубники, облепихи и черной смородины. Эти культуры широко распространены на территории Красноярского края, массово заготавливаются и используются населением в пищу в натуральном или переработанном виде.
Пример 3.1. Сколько различных комбинированных молочно-белковых десертов с ягодными наполнителями можно разработать, имея в наличии пюре брусники, клюквы, клубники, облепихи и черной смородины:
а) используя только одну ягоду (при фиксированном весе наполнителя);
б) используя все возможные варианты ягодных наполнителей (без повторения).
Решение
А. Используя только одну из предложенных ягод можно составить = различных комбинированных молочно-белковых десертов с ягодными наполнителями.
Б. Возможен вариант, что не используется ни один из пяти наполнителей. Этому случаю соответствует . Один из вариантов – использование одного из наполнителей. Таких вариантов . Если будет использовано пюре двух ягод, то число вариантов десертов равно . Для использования трех наполнителей (любых из пяти ягод) существует вариантов и т. д. Наконец, может быть использовано пюре всех ягод: брусники, клюквы, клубники, облепихи и черной смородины. Число вариантов в этом случае равно . Тогда по правилу сложения число всех возможных вариантов использования наполнителей равно
.
С другой стороны, для каждой из наполнителей существует две возможности: пюре ягоды будет использовано или нет при разработке комбинированных молочно-белковых десертов. Таким образом, каждую из 5 операций, можно выполнить согласно четвертому свойству сочетаний
.
Если рассматривать только комбинированные молочно-белковые десерты только с ягодными наполнителями, то число таких вариантов составит 25 – 1 = 31 (при этом десерт без ягоды не учитывается).
Ответ: а) 5; б) 31.
Пример 3.2. Сколько различных комбинированных молочно-белковых десертов с ягодными наполнителями можно разработать, имея в достаточном количестве бруснику, клюкву, клубнику, черную смородинy, при фиксированном весе наполнителя (25 г. на 100 г. десерта), варьируя вес различных наполнителей (например, по 5 г.).
Решение. Если имеется пять различных ягод в достаточном количестве, тогда количество вариантов различных десертов с наполнителями можно определить, используя формулу числа сочетания с повторениями (1.8.1):
,
здесь m может быть и больше n.
Если задано 5 различных элементов и требуется составить сочетания с повторениями из них, то число сочетаний с повторениями из 5 элементов по 1 равно:
.
Число сочетаний с повторениями из 5 элементов по 2 равно
.
Число сочетаний c повторениями из 5 элементов по 3 составит
=.
Число сочетаний c повторениями из 5 элементов по 4 равно =.
Число сочетаний c повторениями из 5 элементов по 5 составит
=126.
По правилу сложения число всех возможных вариантов использования ягодного пюре, при фиксированном весе наполнителя ( г. на г. десерта), варьируя вес различных наполнителей (например, по г.) равно
При наличии пюре пяти ягод (брусника, клюква, клубника, облепиха и черная смородина) можно составить 251 различных комбинированных молочно-белковых десертов, при фиксированном весе наполнителя ( г. на г. десерта), варьируя вес различных наполнителей (например, по г.).
Ответ: 251.