1.3. Размещения

Пусть дано множество из n различных элементов. Из этого множества могут быть образованы подмножества из m различных элементов (0 ≤ m ≤ n).

Размещениями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения (либо и тем, и другим).

Например, из одного элемента можно составить лишь одно размещение.

Из двух элементов и можно составить два размещения по одному элементу: , и два размещения по два элемента: , .

Из трех элементов , , можно составить три размещения по одному элементу: , , ; шесть размещений по два элемента: , , , , , и шесть размещений по три элемента: , , , , , .

Все приведенные соединения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом или порядком их расположения.

На практике чаше представляет интерес количество размещений, а не их конкретный вид. Число размещений из п элементов по т будем обозначать символом , где 0 ≤ m ≤ n¹.

Пример 1.3.1. В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами это можно сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

Решение. Первую фотографию можно поместить на любую из 12 страниц, т. е. 12 способами, вторую – на любую из оставшихся 11 страниц, т. е. 11 способами. Для размещения третьей фотографии имеется 10 способов, для последней – 9 способов. По правилу умножения четыре фотографии можно разместить на 12 страницах 12 · 11 · 10 · 9 = 11 880 способами.

Найденное число размещений четырех фотографий на 12 страницах газеты – это число. . Действительно, для размещения фотографий следует отобрать 4 различных страницы газеты из 12 имеющихся. Затем необходимо отобранные страницы упорядочить, не обращая внимания на их номера, т. е. определить, на какую страницу поместить первую фотографию, на какую – вторую и т. д.

Полученная упорядоченная совокупность страниц является размещением из 12 элементов по 4, а число таких размещений является ответом.

Таким образом, = 11 880.

Ответ: 11 880.

Число размещений из n элементов по m в каждом вычисляется по формуле²

=. (1.3.1)

Факториал. Произведение n натуральных чисел от до n обозначается сокращенно n!, то есть 1 · 2 · 3 · 4 · … · (n – 1) · n = n! (читается n факториал).

Например, 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. По определению 0! = 1.

Используя понятие факториала, формулу (.3.1) можно представить следующим образом:

= , (1.3.2)

где 0 ≤ m ≤ n.

Очевидно, что (при m = 1) и (при m = 0).

Пример 1.3.2. Сколько можно записать пятизначных чисел, используя без повторения все десять цифр?

Решение. Так как в любом числе важную роль играет входящих в него цифр, то для ответа на вопрос, очевидно, следует определить число размещений из 10 цифр по 4:

= .

Не все последовательности из 4 цифр собой четырехзначное число, поскольку среди них есть и те, у которых на 1-м месте находится 0. Найдем число таких последовательностей.

Так как у рассматриваемых последовательностей на 1-м месте уже стоит 0, то следует выбрать еще 3 цифры из оставшихся 9. Найдем число размещений из 9 по 3: =7 · 8 · 9 = 504. Таким образом, искомое число четырехзначных чисел равно разности –.

Ответ: 4 536.

Пример 1.3.3. Расписание одного дня состоит из 6 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 12 предметов.

Решение. Каждый вариант расписания представляет собой набор 6 дисциплин из 12 вариантов, которые отличаются составом дисциплин, порядком их следования (или и тем, и другим), т. е. является размещением из 12 элементов по 6. Число вариантов расписаний вычисляется по формуле (1.3.2)

Ответ: 665 280.