49

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Красноярский государственный торгово-экономический институт»

Е. А. Попова с. А. Раковская элементы комбинаторики

Практикум

для студентов специальности 080105.65 «Финансы и кредит»,

080502.65 «Экономика и управление на предприятии (в торговле)»,

260501.65 «Технология продуктов общественного питания»,

080401.65 «Товароведение и экспертиза товаров», 080109.65

«Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 080507.65 «Менеджмент

организации», 080111.65 «Маркетинг», 080301.65 «Коммерция»

(торговое дело) и направления 260100.62 «Технология продуктов

общественного питания», 080100.62 «Экономика»,

080500.62 «Менеджмент»,

всех форм обучения

Красноярск 2008

УДК 512.1(076.5)

ББК 22.141я73

П 58

Рецензент

кандидат физико-математических наук Л. А. Слонова

Попова Е. А.

П 58 Элементы комбинаторики : практикум / Е. А. Попова, С. А. Раковская; Краснояр. гос. торг.-экон. ин-т. – Красноярск, 2008. – 44 с.

Практикум содержит более ста задач (с решениями и для самостоятельной работы), в том числе профессионально ориентированные для студентов, обучающимся по специальностям 080105.65 «Финансы и кредит», 080109.65 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 080502.65 «Экономика и управление на предприятии (в торговле)», 080507.65 «Менеджмент организации», 080111.65 «Маркетинг», 080401.65 «Товароведение и экспертиза товаров», 080301.65 «Коммерция» (торговое дело), 260501.65 «Технология продуктов общественного питания»; направлениям 080100.62 «Экономика», 080500.62 «Менеджмент», 260100.62 «Технология продуктов общественного питания».

Предложенное учебное издание может быть полезно не только студентам, преподавателям математики, но и аспирантам, преподавателям и научным работникам, то есть всем, кто сталкивается в своей практической работе с комбинаторными задачами.

УДК 512.1(076.5)

ББК 22.141я73

© ГОУ ВПО «Красноярский государственный торгово-экономический институт», 2008

© Попова е. А., Раковская с. А., 2008 оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ………………………………………………………………	4
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………	5
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМБИНАТОРИКИ …………………………	6
1.1. «Особая примета» комбинаторных задач………….………………...	6
1.2. Правила сложения и умножения ………………………………….….	6
1.3. Размещения………………………………………………………….….	9
1.4. Перестановки……………………………………………………….…..	11
1.5. Сочетания…………………………….………………………………...	12
1.6. Размещения с повторениями………………………………………….	15
1.7. Перестановки с повторениями ..……………………………………...	16
1.8. Сочетания с повторениями …………………………………………..	17
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ………………………………………………….……..	19
2.1. Разные задачи…...………………………………………………….…..	19
2.2. Профессионально ориентированные задачи …………………….…..	25
3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ КОМБИНАТОРНОГО АНАЛИЗА ПРИ РАЗРАБОТКЕ МОЛОЧНО-БЕЛКОВЫХ ДЕСЕРТОВ…………….	28
4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ …………….…….	30
4.1. Разные задачи…...………………………………………………………..	30
4.2. Профессионально ориентированные задачи…………………………...	34
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…..……………………………………	38
ПРИЛОЖЕНИЯ…………………………………………………………….…	40

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данный практикум посвящен изучению темы «Комбинаторика» курса «Теория вероятностей», рекомендуется для очного, заочного, дистанционного образования, а также лицам, получающим второе высшее образование. Предлагаемое учебное издание может быть использовано при традиционной форме проведения практических занятий, а также для самостоятельного изучения данной темы.

Идея данного издания возникла в результате общения авторов с инженерами-технологами, экономистами, менеджерами и специалистами в других областях, которые стремятся использовать аппарат комбинаторного анализа для решения специфических задач.

В данном издании сделана попытка, не углубляясь в дебри математических выкладок, однако сохраняя логическую строгость, ввести читателей в курс основных понятий комбинаторного анализа.

Практикум состоит из четырех разделов:

– основные понятия комбинаторики;

– решение задач;

– использование элементов комбинаторного анализа при разработке молочно-белковых десертов;

– задачи для самостоятельного решения.

В практикуме представлено большое количество примеров с решениями, в том числе профессионально ориентированные, а также задачи для самостоятельного решения.

Для удобства принята двойная нумерация параграфов (сквозная нумерация внутри раздела), а нумерация формул, примеров и рисунков тройная (сквозная нумерация внутри параграфа). В номерах формул первое число соответствует номеру раздела, второе номеру параграфа.

Для дальнейшего ознакомления с комбинаторным анализом заинтересованному читателю рекомендуются книги, включенному в библиографический список.

Цель практикума состоит в освещении возможностей практического применения методов комбинаторного анализа, освоении методики решения типовых и профессионально ориентированных задач.

ВВЕДЕНИЕ

В комбинаторике часто случается, что задача, на первый взгляд кажущаяся пустой головоломкой, получает в дальнейшем применение в самых различных областях практической деятельности.

Н. Я. Виленкин

Иногда приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или осуществления некоторого действия. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать, складываются в самые разнообразные комбинации. Раздел математики, называемый комбинаторикой, занят поиском ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае. Термин «комбинаторика» был введен в математический обиход Готфридом Вильгельмом Лейбницем. Возникновение основных понятий и развитие комбинаторного анализа шло параллельно с развитием других разделов математики.

Комбинаторика (от позднелат. сombinо – соединение), то же, что комбинаторный анализ – раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения частей некоторого (обычно конечного) множества в соответствии с заданными правилами.

Комбинаторный анализ является разделом дискретной математики, истоки его уходят в глубокую древность. В настоящее время интерес к нему значительно усилился. Благодаря этому комбинаторный анализ сегодня превратился в достаточно развитую ветвь математики, которая непрерывно разрастается. Это делает трудным четко очертить круг объектов и их свойств, которые принадлежат комбинаторике. Ввиду этого мы начинаем с описания простейших (элементарных) комбинаторных объектов.

Идеи комбинаторного характера получили широкое распространение в некоторых разделах математики: теории вероятностей, теории чисел, алгебре и др.

Результаты комбинаторного анализа могут быть использованы при планировании и анализе научных экспериментов, кодировании сообщений, в линейном и динамическом программировании, в математической экономике и многих других областях науки и техники.