1.4. Перестановки

Рассмотрим частный случай, когда m = n. Соответствующие этому случаю размещения называют перестановками.

Перестановками из n элементов называются такие соединения, из которых каждое содержит все n элементов, и которые отличаются друг от друга лишь порядком соединения элементов.

Перестановки состоят из одних и тех же элементов, но отличающихся между собой порядком. Перестановки являются частным случаем размещений.

При m = n получаем

Число перестановок из одного элемента равно .

Число перестановок из двух элементов и равно двум: , .

Число перестановок из трех элементов , , равно шести: , ,, , , .

Число перестановок из n элементов обозначается символом P_n и находится по формуле

P_n = 1 · 2 · 3 · … · (n – 1) · n = n! (1.4.1)

Решение задачи о квартете

Четыре горе-музыканта из басни И. А. Крылова долго пересаживались с места на место. В ходе этого «творческого поиска» Осел внес предложение: «Мы, верно, уж поладим, коль рядом сядем». Определим число возможных перестановок. Здесь n = 4, поэтому способов «усесться чинно в ряд» имеется P₄ = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

Для решения некоторых задач приходится применять идею перестановок с поправками. Предположим, что главным влияющим на качество игры фактором являются соседи каждого музыканта (не важно, кто из них справа, а кто слева). При таком условии перестановка «Мартышка, Осел, Козел, Мишка» эквивалентна зеркально-симметричной «Мишка, Козел, Осел, Мартышка». Понятно, что в этом случае все P₄ вариантов разбиваются на пары равнозначных перестановок. Если из каждой пары оставить по одной перестановке, то общее число различающихся вариантов будет .

Предположим, что музыканты сели не в ряд, а по кругу. В этом случае в каждом из вариантов пронумеруем всех участников по часовой стрелке, начиная, например с Мартышки. В различных перестановках каждый музыкант, конечно, должен иметь разные номера. Только у Мартышки будет постоянный номер . Значит, осталось пронумеровать различными способами только троих. Поэтому здесь число возможных перестановок P₃ = 3! = 6.

Пример 1.4.1. Порядок выступления 8 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

Решение. Каждый вариант жеребьевки отличается только порядком участников конкурса, т. е. является перестановкой из 8 элементов. Их число определяется по формуле (1.4.1)

P₈ = 8! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40 320.

Ответ: 40 320.

Пример 1.4.2. Сколькими способами можно расставить десять различных книг на полке, чтобы определенные пять стояли рядом?

Решение. Решим задачу двумя способами.

Способ 1. Будем считать выделенные книги за книгу. Тогда для шести книг существует P₆ = 6! = 720 перестановок. Однако пять определенных книг можно переставить между собой P₅ = 5! = 120 способами. По правилу умножения имеем P₆ · P₅ = 720 · 120 = 84 400.

Способ 2. Возможны следующие случаи: первая из пяти книг стоит на 1-м месте, тогда пятая стоит на 5-м месте; первая книга стоит на 2-м месте, а пятая стоит на 6-м, первая стоит на 6-м месте, тогда пятая стоит на последнем 10-м месте. Число таких случаев равно шести. Сами книги могут быть переставлены P₅ = 5! = 120 способами. По правилу умножения выделенные шесть книг можно расставить 6 · P₅ = 720 способами. Оставшиеся пять книг можно переставить P₅ = 5! = 120 способами. Воспользовавшись снова правилом умножения, приходим к тому же результату, который был получен при первом способе решения: P₅ · 6 · P₅ = P₅ · P₆ = 120 · 720 = 86 400.

Ответ: 86 400.