1. Основные понятия комбинаторики

1.1. «Особая примета» комбинаторных задач

Часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов осуществления некоторого действия. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать, складываются в самые разнообразные комбинации. По смыслу задачи обычно очевидно, что существует лишь конечное число интересующих нас объектов, все дело в том, чтобы найти это число.

В знаменитой басне И. А. Крылова «Квартет» «проказница Мартышка, Осел, Козел да косолапый Мишка» устроили любопытный эксперимент: они исследовали влияние взаимного расположения музыкантов на качество исполнения (прил.). И если бы не вмешался Соловей, участники квартета, наверное, перепробовали бы все возможные варианты. Сколько существует способов рассадить в один ряд четырех музыкантов?

Другой случай. Воспетый В. В. Маяковским «молоткастый, серпастый» советский паспорт имел серию и номер, состоящие из трех частей:

1) некоторое число, записанное римскими цифрами;

2) две русские буквы;

3) шесть арабских цифр.

Например, IX-РГ № 062993. Разумеется, все паспорта должны иметь разные номера. Сколько же может быть различных паспортов?

Общее у рассмотренных задач то, что их решением занимается отдельная область математики, называемая комбинаторикой. «Особая примета» комбинаторных задач – это вопрос, который всегда начинается словами «Сколькими способами…».

В комбинаторных задачах всегда речь идет о тех или иных комбинациях объектов.

Ясно, что комбинаторика имеет дело лишь с натуральными числами, однако, она не проще других разделов математики. Практика показывает, что, впервые сталкиваясь с комбинаторикой, многие с трудом привыкают к подобным рассуждениям.

1.2. Правила сложения и умножения

Установим два важных правила, которые часто применяют при решении комбинаторных задач. Рассмотрим примеры.

Пример 1.2.1. Необходимо составить варианты контрольной работы, каждый из которых должен содержать три задачи. Одна задача выбирается из любого параграфа I гл. сборника задач, вторая – из любого параграфа II гл., а последняя из любого параграфа III гл. При этом следует учесть, что I и III гл. содержат два параграфа, а II гл. – три параграфа. Сколько видов контрольной работы можно составить исходя из этих условий, если вид работы определяется только номерами параграфов, из которых выбраны задачи?

Решение. Задачу решим двумя способами.

Способ 1. Пусть каждой задаче соответствует двузначное число, где первая цифра соответствует номеру выбранной главы, а вторая – номеру параграфа. Чтобы не допустить ошибки при подсчете, воспользуемся специальным графом, который иногда называют деревом (рис. 1.2.1). Начальную точку обозначим буквой О. Двигаясь по ребрам графа слева направо, начиная с точки, получим 12 различных видов контрольной работы.

Рис. 1.2.1. Дерево решений Примера 1.2.1

Способ 2. В задаче требуется для каждого вида контрольной работы подобрать три параграфа по одному из указанных трех глав, т. е. следует заполнить три клетки на карточке для контрольной работы. Изобразим эти клетки следующим образом:

В первую клетку можно поместить либо 11, либо 12. Поэтому первую клетку можно заполнить двумя способами:

2

На «дереве» это обстоятельство иллюстрируется двумя ветвями, исходящими из точки О и ведущими к столбцу «Первая задача». Для каждого из двух способов заполнения первой клетки имеется три варианта заполнения второй клетки, так как вторую задачу можно выбрать тремя способами, поскольку гл. II содержит три параграфа:

2

3

Первые две клетки можно заполнить шестью способами: 2 · 3 = 6. Заметим, что именно 6 ветвей заканчиваются в столбце «Вторая задача».

Для каждого из этих шести способов существует два способа заполнения третьей клетки, так как третья задача может быть выбрана из двух параграфов главы III:

2

3

2

Тогда общее число способов заполнения трех клеток равно 2 · 3 · 2 = 12. Именно столько ветвей заканчивается в столбце «Третья задача». Таким образом, можно составить 12 различных видов контрольной работы.

Ответ: 12.

Пример 1.2.2. В группе 25 человек. Необходимо выбрать старосту и профорга. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Старостой может быть выбран любой из 25 студентов, т. е. существует 25 способов выбора старосты. Когда староста уже выбран, профоргом можно выбрать любого из оставшихся 24 студентов. Таким образом, одному способу выбора старосты соответствуют 24 способа выбора профорга. Следовательно, общее число способов выбора старосты и профорга равно 25 · 24 = 600.

Ответ: 600.

Таким образом, пусть () – элементы конечного множества. На основании решения примеров 1.2.1 и 1.2.2 сформулируем правило умножения.

Правило умножения. Если элемент А₁ может быть выбран n₁ способами, после каждого такого выбора элемент А₂ может быть выбран n₂ способами и т. д., после каждого (k – 1) выбора элемент А_k может быть выбран n_k способами, то выбор всех А₁, А₂, …, А_k в указанном порядке может быть осуществлен n₁ · n₂…·n_k способами.

Пример 1.2.3. Имеется 20 изделий 1-го сорта и 30 изделий 2-го сорта. Необходимо выбрать два изделия одного сорта. Сколько способов выбора двух изделий возможно в данной ситуации, если учитывается порядок выбора изделий?

Решение. Условимся первым действием считать выбор изделий 1-го, вторым – выбор изделий 2-го сорта. По правилу умножения два изделия 1-го сорта можно выбрать 20 · 19 = 380 способами. Два изделия 2-го сорта можно выбрать 30 · 29 = 870 способами. Согласно условию задачи следует выбрать два изделия одного сорта, не важно какого. Это могут быть либо изделия 1-го сорта, либо изделия 2-го сорта. Таким образом, должно быть выполнено либо первое действие, либо второе, но не первое действие, а затем второе. Эти действия не могут быть выполнены одновременно, поскольку они взаимно исключают друг друга. Поэтому общее число способов выбора изделий одного сорта равно 380 + 870 = 1250.

Ответ: 1250.

Следует иметь в виду, что использование правила умножения приводит к необходимости учитывать порядок элементов при выборе их из какого-либо множества.

Соображения, которые были приведены при решении примера 1.2.3, позволяют сформулировать правило сложения.

Правило сложения. Если элемент А₁ может быть выбран n₁ способами, элемент А₂ – другими n₂ способами, элемент А₃ – отличными от первых двух n₃ способами и т. д., элемент А_k – n_k способами, отличными от первых (k – 1), то выбор одного из элементов: или А₁, или А₂, …, или А₃ может быть осуществлен n₁ + n₂ +…+ n_k способами.

Это правило легко распространить на любое конечное число действий.

Правила сложения и умножения дают универсальный метод решения многих комбинаторных задач.