1.6. Размещения с повторениями

Пусть имеется четыре различных элемента a, b, c, d (в достаточном количестве комплектов) и пусть требуется составить из этих четырех элементов по два элемента размещения с повторениями.

Если бы составлялись размещения без повторения, то все размещения должны были быть различными:

ab

ba

ac

ca

ad

da

cb

bc

bd

db

dc

cd

Размещения с повторениями из этих четырех элементов будут следующие:

aa

ab

ba

ac

ca

ad

da

cb

bc

bd

bb

db

dc

cc

cd

dd

Таким образом, размещение с повторениями из n элементов по m элементов (при 0 ≤ m ≤ n) может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до m включительно, или не содержать его совсем, т. е. каждое размещение с повторениями из n элементов по m элементов может состоять не только из m различных элементов, но и из m каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.

Соединения, отличающиеся друг от друга хотя бы порядком расположения элементов, считаются различными размещениями.

Число размещений с повторениями из n элементов по m обозначается символом .

Число размещений с повторениями определяется по формуле

(1.6.1)

Решение задачи о паспортах

Определим, сколько может быть паспортов советского образца с различными сериями и номерами, если зафиксировать римские цифры серии. Остаются две русские буквы и шесть арабских цифр. Рассмотрим цифры и буквы отдельно.

Буквы. В русском алфавите 33 буквы. Нам нужно выбрать любые две (они могут быть одинаковыми). Следовательно, имеет место размещение с повторениями, где n = 33 и m = 2.

33² = 1 089.

Цифры. Здесь выбирается (с повторениями) m = 6 цифр из n = 10 возможных. Для этого есть способов.

Поскольку каждую пару букв можно соединить с любой шестеркой цифр, то возможно существование 33² · 10⁶ = 1 089 000 000 паспортов, имеющих одни и те же римские цифры серии.

Ответ: 1 089 000 000.

Пример 1.6.1. В гостинице 10 комнат, каждая из которых может разместить четырех человек. Сколько существует вариантов размещения, прибывших четырех гостей?

Решение. Каждый гость из 4 может быть помещен в любую из 10 комнат, поэтому общее число размещений по формуле (1.6.1) равно

Ответ: 10 000.

1.7. Перестановки с повторениями

Пусть имеется пять элементов, среди которых три одинаковых элемента: a, a, a, b, c. Перестановками из этих пяти элементов будут такие соединения, из которых каждое содержит все эти пять элементов и которые будут отличаться друг от друга лишь порядком расположения этих пяти элементов.

Очевидно, что элемент a будет входить в каждое соединение три раза.

Всевозможными перестановками из пяти элементов будут следующие:

Эти перестановки будут перестановками с повторениями потому, что в каждое соединение один и тот же элемент входит три раза, т. е. столько раз, сколько раз он имелся среди данных пяти элементов.

Из приведенных перестановок видно, что их число равно 20. Если же все 5 элементов были бы различными, то число перестановок равнялось бы не 20, а числу 5! = 120.

Предположим теперь, что нам неизвестно число перестановок с повторениями из пяти данных элементов. Обозначим его X. И представим себе, что в группе a, a, a, b, c вместо трех одинаковых элементов a, a, a мы взяли три различных элемента a₁, a₂, a₃. Тогда имеющееся число перестановок увеличится в 3! раз, т. е. во столько раз, сколько можно сделать перестановок из трех различных элементов. Тогда число всех перестановок будет равно 5! = X : (3!).

Отсюда .

Нетрудно получить и общую формулу для случая, когда имеется n групп, состоящих соответственно из k₁, k₂,…, k_n неразличимых предметов. Если существует n элементов: a, b, …, c среди которых элемент a повторяется k₁ раз, элемент b повторяется k₂ раз и т. д., элемент c повторяется k_n раз, то число перестановок с повторениями выражается при помощи формулы

. (1.7.1)

Пример 1.7.1. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, две ладьи, двух слонов и двух коней) на первой линии шахматной доски (не соблюдая шахматные правила)?

Решение. Всего фигур 8, из них три фигуры по две и две – по одной. По формуле (1.7.1) число перестановок равно = 5 040.

Ответ: 5 040.

Пример 1.7.2. Сколько перестановок можно сделать из букв слова «математика»?

Решение. В слове две буквы «м», три буквы «а», две буквы «т», по одной букве «е», «и», «к». Всего 10 букв. По формуле (1.7.1) число перестановок равно

.

Ответ: 151 200.