1.5. Сочетания
В некоторых задачах по комбинаторике не имеет значения порядок расположения объектов в той или иной совокупности. Важно лишь то, какие именно элементы ее составляют.
Если два различных размещения состоят из одинаковых элементов некоторого множества, то они обязательно отличаются порядком входящих в них элементов. Иногда возникает необходимость не учитывать порядок элементов, входящих в размещение. В этом случае все m! размещений, которые состоят из одних и тех же m элементов, считаются неразличимыми.
Предположим, что
из чисел 3, 5, 7 необходимо составить
различные произведения двух чисел.
Таких произведений три, а именно: 3 · 5 =
15; 3 · 7 = 21; 5 · 7 = 35. Произведения вида 3 ·
5 и 5 · 3 совпадают, так как положение
сомножителей, входящих в произведение,
не учитывается. Если требуется из
указанных цифр составить двузначные
числа, то таких чисел уже шесть. Запишем
эти числа:
,
,
,
,
,
.
В этом случае был учтен порядок цифр.
Сочетаниями из n элементов по m в каждом называют такие соединения, из которых каждое содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга только составом элементов.
Из одного элемента можно составить лишь одно сочетание.
Из двух элементов
и
можно составить два сочетания по одному
элементу:
,
и лишь одно сочетание по два элемента:
.
Из трех элементов
,
,
можно составить три сочетания по одному
элементу:
,
,
,
три сочетания по два элемента:
,
,
и лишь одно сочетание по три элемента:
.
Все приведенные сочетания в каждом примере отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.
Число сочетаний
из n
элементов по m
обозначается символом:
и вычисляется по формулам (1.5.1) и (1.5.2):
,
0 ≤ m
≤ n;
(1.5.1)
,
0 ≤ m
≤ n.
(1.5.2)
Свойства сочетаний
1.
/
2.
.
3.
.
4.
.
5.
– рекуррентная
формула, где 0 < m
< n.
Пример 1.5.1. Необходимо выбрать в подарок 3 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Из смысла задачи следует, что порядок выбора книг не играет роли. Здесь важен их состав. Число возможных способов выбора трех книг в подарок из 10 имеющихся определяется по формуле (1.5.1)
.
Ответ: 120.
Пример 1.5.2. В шахматном турнире участвуют 15 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?
Решение. Каждая партия играется двумя участниками из 15 и отличается от других только составом пар участников, т.е. представляет собой сочетание из 15 элементов по 2. Их число находим по формуле (1.5.1)
.
Ответ: 105.
Пример
1.5.3.
Имеется
белых и
красных шаров. Сколькими способами
можно выбрать
шаров так, чтобы среди них были
красных?
Решение.
Среди отобранных шаров 4 белых и 3 красных.
Белые шары можно выбрать
способами. Красные шары можно выбрать
способами. Тогда по правилу произведения
искомое число способов равно
.
Ответ: 2 100.
Пример 1. 5. 4. Сколько существует вариантов опроса 12 студентов на одном занятии по английскому языку, если ни один из них не будет подвергнут опросу дважды и на занятии может быть опрошено любое количество учащихся, причем порядок, в котором опрашиваются студенты, безразличен?
Решение.
Преподаватель может не опросить ни
одного из 12 студентов, что является
одним из вариантов. Этому случаю
соответствует
.
Преподаватель может опросить только
одного из студентов. Таких вариантов
.
Если преподаватель будет опрашивать
двух студентов, то число вариантов
опроса равно
.
Для опроса трех студентов существует
вариантов и т. д. Наконец, могут быть
опрошены все студенты данной подгруппы.
Число вариантов в этом случае равно
.
Тогда по правилу сложения всех возможных
вариантов опроса равно
.
С
другой стороны, для каждого из студентов
существует две возможности:
он будет опрошен или не опрошен на данном
занятии. Другими словами, каждую
из 12 операций, заключающихся в том, что
каждый студент будет либо опрошен, либо
не опрошен, можно выполнить по правилу
умножения
способами, что и следовало ожидать, так
как согласно 4-му свойству сочетаний
.
Ответ: 212.
В размещении учитывается порядок входящих в них элементов, а в сочетаниях – не учитывается. При решении задач это не следует забывать.