- •Лекція 1 елементи теорії похибок
- •1.1 Задачі обчислювальної математики
- •1.2 Абсолютна і відносна похибки
- •Значуща цифра числа. Вірна значуща цифра
- •1.4 Оцінка похибки функції (Загальна задача теорії похибок)
- •1.5 Оцінка похибки математичних дій
- •1.6 Обернена задача теорії похибок
- •Лекція 2. Наближені методи розв‘язування нелінійних (алгебричних і трансцендентних) рівнянь
- •2.1 Загальні відомості
- •2.2 Відокремлення коренів
- •2.3 До запитання про розв‘язання алгебричних рівнянь
- •2.4 Уточнення коренів
- •Лекція 3. Моделювання лінійних електричних кіл. Методи розв'язання систем лінійних рівнянь
- •Лекція 4. Методи розв‘язування систем нелінійних рівнянь
- •4.1 Метод ітерацій
- •4.2 Метод Ньютона
- •Лекція 5. Наближення функцій
- •5.1 Способи завдання функцій
- •5.2 Формулювання задачі наближення функцій
- •5.3 Інтерполяція функцій
- •5.4 Апроксимація функцій
- •Лекція 6. Чисельне інтегрування і диференціювання
- •6.1 Чисельне інтегрування
- •Лекция 7. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •7.1 Вводные замечания
2.4 Уточнення коренів
До найбільш поширених методів уточнення коренів алгебричних і трансцендентних рівнянь відносять методи:
– половинного ділення (інші назви: бісекції, дихотомії);
– хорд (помилкового положення);
– дотичних (Ньютона);
2.4.1 Метод половинного ділення
Суть методу, в тому, що відрізок ізоляції кореня а, b ділять навпіл точкою х1 = 0,5(а+b) і обчислюють f(x1). Якщо f(x1) = 0, то х1 є точне значення кореня. Якщо f(x1) 0, але (b-a) 2ε (ε – задана точність визначення кореня) , то х1 – є наближене значення кореня що знайдено із заданою точністю. Якщо f(x1) 0 і
(b-a) > 2ε, тоді розглядають той з двох відрізків [a, x1] і [x1, b], на кінцях якого функція f(x1) набуває значень протилежних знаків (рис. 2.1). Цей відрізок знов ділять навпіл точкою х2 (друге наближення кореня) і так само визначають, чи не перевищує абсолютна похибка наближення кореня х2 величини ε. Очевидно, що знаходження чергового наближення кореня після n ітерацій здійснюється за виразом
xn+1 = 0,5(an + bn). (2.5)
Рисунок 2.1 – Графічне зображення суті методу половинного ділення
Алгоритм методу половинного ділення можна зобразити таким чином:
Завдання a, b, ε;
R = f(a);
► x = 0,5(a + b);
f(x);
якщо то х – корінь;
да, то ►
інакше R·f(x) < 0 ?
ні, то , R = f(x)►.
2.4.2 Метод хорд
В цьому методі відрізок С ділять не навпіл, а у відношенні f(a) / f(b). Суть методу полягає в тому, що за наближення до кореня приймаються значення x1, x2, x3, …, xn точок перетину хорди з віссю абсцис (рис. 2.2).
Рисунок 2.2 – Графічне зображення ідеї методу хорд
Наступне наближення кореня визначається за формулою
(2.6)
де с – так звана нерухома точка, за яку приймається той з кінців відрізка а, b, для котрого знак функції збігається зі знаком другої похідної (). На рис. 2.2 с = а. Другий кінець відрізка а, b приймається за початкове наближення х0, що використовується формулою (2.6).
Ітераційний процес закінчується при виконанні умови
,
де – найменше значення модуля першої похідної на відрізку а, b.
Для використання методу хорд необхідно для інтервалу [a, b] обчислити
і . За допомогою одержаних значень визначити величини m, c, x0 таким чином: ; якщо f(a) і мають однаковий знак, то с = а і х0 = b (відповідно, якщо однаковий знак мають f(b) і , то с = b і х0 = а).
Далі алгоритм методу хорд виглядає так:
Завдання ε, m, c, x0;
f(c);
R = f(x0);
► x = ;
f(x);
якщо , то х – корінь;
інакше: R = f(x), x0 = x►.
2.4.3 Метод дотичних
Метод полягає в побудові ітераційної послідовності
, (2.7)
що збігається до кореня рівняння f(x) = 0.
Достатні умови збіжності метода: послідовність (2.7) збігається до дійсного значення кореня рівняння f(x) = 0, якщо початкове наближення кореня (х0) належить інтервалу а, b, на котрому і зберігають свій знак і задовольняється умова .
За х0 приймають той з кінців відрізка а, b, для якого (в методі хорд це нерухома точка).Метод допускає просту геометричну інтерпретацію, а саме: якщо через точку з координатами провести дотичну, то абсциса точки перетину цієї дотичної з віссю х і є чергове наближення кореня рівняння f(x) = 0 (рис. 2.3).
Ітерації продовжуються до виконання умови
,
Де М – найбільше значення модуля другої похідної на відрізку а, b,
.
Рисунок 2.3 – Графічне подавання ідеї методу дотичних
Для використання методу дотичних необхідно для інтервалу [a, b] обчислити і . За допомогою одержаних значень визначити величини m, М, x0 таким чином: ; , якщо f(a) і мають однаковий знак, то х0 = а.
Далі алгоритм методу дотичних може виглядати так:
Завдання ε, m, М, x0;
► х = х0;
f(x);
;
якщо , то х – корінь;
інакше: x0 = x►.
Метод дотичних має високу швидкість збіжності, однак недоліком його є необхідність обчислення похідної на кожній ітерації. Якщо мало змінюється на відрізку а, b, то можна значно зменшити обсяг обчислень, якщо скористуватися модифікованим методом Ньютона з використанням формули
.
2.4.4 Комбінований метод хорд і дотичних
Методи хорд і дотичних дають наближення кореня з різних боків. Тому їх часто поєднують і уточнення кореня відбувається скоріше.
На кожній ітерації використовується спочатку формула (2.7), потім – формула (2.6), в якій за с приймають значення x, що розраховано на даному кроці за формулою(2.7). Процес закінчується, коли Остаточне значення кореня визначається формулою
, (2.8)
де і – наближення кореня, які розраховані відповідно за формулами (2.6) і (2.7).
2.4.5 Метод ітерацій
Для знаходження кореня методом ітерацій (простих) рівняння f(x) = 0 приводять до вигляду так, щоб виконувалось співвідношення , яке є достатньою умовою збіжності ітераційного процесу.
На інтервалі а, b обирають початкове наближення х0 (бажано в середині інтервалу, щоб похибка заокруглення не вивела за межі а, b, де виконуються умови збіжності); наступні наближення визначаються за формулою
(2.9)
доти, поки не буде виконано умову
(2.10)
(можна прийняти ).
З геометричної точки зору коренем рівняння є абсциса точки перетину кривої і прямої
Характер зміни в процесі обчислень за формулою (2.9), а також вид умови закінчення ітерацій залежать від знака і абсолютної величини на інтервалі а, b.
– Якщо , то послідовні наближення сходяться до кореня монотонно. При цьому, якщо q 0,5 за умову закінчення ітерацій можна прийняти
. (2.11)
– Якщо , то послідовні наближення коливаються навколо дійсного значення кореня і при цьому також можна користуватися умовою (2.11). Таким чином, умову (2.10) необхідно використовувати тільки в тих випадках, коли і .
Не завжди легко обрати функцію , що задовольняє умові збіжності.
Розглянемо один з алгоритмів переходу від рівняння до рівняння Помножимо ліву і праву частини рівняння на довільну константу h і додамо до обох частин невідоме х
при цьому корені вихідного рівняння не зміняться.
Позначимо і одержимо
Очевидно, що при будь-яких рівняння і рівносильні. Константу бажано обрати такою, щоб , тоді буде забезпечена збіжність ітераційного процесу.
Похідна . Найбільша швидкість збіжності має місце при , тоді і ітераційна формула (2.9) переходить у формулу Ньютона (метода дотичних)
.