- •Лекція 1 елементи теорії похибок
- •1.1 Задачі обчислювальної математики
- •1.2 Абсолютна і відносна похибки
- •Значуща цифра числа. Вірна значуща цифра
- •1.4 Оцінка похибки функції (Загальна задача теорії похибок)
- •1.5 Оцінка похибки математичних дій
- •1.6 Обернена задача теорії похибок
- •Лекція 2. Наближені методи розв‘язування нелінійних (алгебричних і трансцендентних) рівнянь
- •2.1 Загальні відомості
- •2.2 Відокремлення коренів
- •2.3 До запитання про розв‘язання алгебричних рівнянь
- •2.4 Уточнення коренів
- •Лекція 3. Моделювання лінійних електричних кіл. Методи розв'язання систем лінійних рівнянь
- •Лекція 4. Методи розв‘язування систем нелінійних рівнянь
- •4.1 Метод ітерацій
- •4.2 Метод Ньютона
- •Лекція 5. Наближення функцій
- •5.1 Способи завдання функцій
- •5.2 Формулювання задачі наближення функцій
- •5.3 Інтерполяція функцій
- •5.4 Апроксимація функцій
- •Лекція 6. Чисельне інтегрування і диференціювання
- •6.1 Чисельне інтегрування
- •Лекция 7. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •7.1 Вводные замечания
2.2 Відокремлення коренів
Найбільш поширеними методами відокремлення коренів є аналітичний і графічний.
Аналітичний метод передбачає розрахунок значень функції (і її знаків) в ряді точок. Для знаходження відрізків ізоляції коренів рівняння (2.1) в межах зони існування коренів [RН, RВ] достатньо визначити точки і , для яких f(a)·f(b) < 0, тобто f(a) і f(b) мають протилежні знаки. Для того, щоб гарантувати, що на відрізку [a, b] є тільки один корінь, необхідно розраховувати значення функції у великій кількості точок, що буває недоцільно.
Графічний метод відокремлення коренів існує в двох різновидах:
1) будують графік функції , знаходять точки перетину графіка з віссю абсцис і визначають навколо цих точок відрізки [a, b];
2) всі члени рівняння (2.1) поділяють на дві групи, одну з яких записують в лівій, а другу – в правій частині рівняння, тобто зображують його у вигляді
і будують графіки функцій і ; далі знаходять межі (відрізки [a, b]), в яких містяться абсциси точок перетину графіків функцій y1 і y2.
2.3 До запитання про розв‘язання алгебричних рівнянь
2.3.1 Визначення кількості дійсних коренів
Наближено визначити кількість дійсних додатних коренів алгебричного рівняння
(2.2)
можна за допомогою правила Декарта: кількість дійсних додатних коренів алгебричного рівняння із дійсними коефіцієнтами дорівнює числу змін знаку в послідовності коефіцієнтів рівняння, або на парне число менше (коефіцієнти, що дорівнюють нулю не враховуються).
Кількість від‘ємних коренів алгебричного рівняння дорівнює числу змін знаку в послідовності коефіцієнтів рівняння або на парне число менше.
2.3.2 Визначення області існування коренів
Розглянемо два з декількох методів визначення верхньої межі додатних коренів рівняння .
Метод Лагранжа. Якщо коефіцієнти многочлена відповідають умовам a0 > 0, a1, a2, …,am-1 ≥ 0, am < 0, то верхня межа додатних коренів рівняння (2.2) визначається за формулою
(2.3)
де В – найбільша із абсолютних величин від‘ємних коефіцієнтів;
m – ступінь х при першому від’ємному коефіцієнті а.
Метод Ньютона. Якщо при х = С многочлен і його похідні , … приймають додатні значення, то С є верхньою межею додатних коренів рівняння .
Існує засіб визначення інших меж дійсних коренів з використанням методів визначення верхньої межі додатних коренів .
Якщо
рівняння ,
—″— —″— ,
—″— —″— ,
—″— —″— ,
то всі відмінні від нуля дійсні корені рівняння (якщо вони існують) лежать у середині інтервалів
і .
Визначимо, наприклад, межі додатних і від‘ємних коренів рівняння
.
Знайдемо за методом Лагранжа R1, R2, R3, R4. У многочлені a0 = 8
> 0; а1 = 0; а2 = -8 < 0; a3 = -32; a4 = 1, m = 2. Отже, .
Для многочлена
Аналогічно знаходимо .
Далі, для многочлена
a0 = 1 > 0; a1 = -32 < 0, тобто m = 1, B = 32 i R3 = 1 + 32 = 33.
Зрештою, для многочлена
Маємо a0 = 1 > 0; a1 = 32; a2 = -8; a3 = 0; a4 = 8, тобто m = 2; B = 8. Тому .
Отже, якщо задане рівняння має дійсні корені, вони обов‘язково лежать у межах (-2; -1 / 3,828) і (1 / 33; 3).
2.3.3 Обчислення значень многочлена. Схема Горнера
Розв‘язування алгебричних рівнянь як на етапі відокремлення коренів, так і при їх уточненні потребує багаторазових обчислень значень . Тому важливе значення має побудова найбільш економічних (з точки зору кількості операцій) алгоритмів.
Припустимо, що треба розрахувати значення многочлена (див. (2.2)) при . Обчислення вигідно проводити для перетвореного запису (2.2) до наступного вигляду
(2.4)
Послідовне обчислення чисел (n множень і n додавань)
· · · · · · ·
дає значення .
Алгоритм розрахунку , який складено на основі виразу (2.4) називають схемою Горнера. Саме у вигляді схеми розрахунки розташовують так:
+
+
+
+
+
ε b0·ε b1·ε b2·ε … bn-2·ε bn-1·ε
b0 b1 b2 b3 … bn-1 bn.
В першому рядку записані коефіцієнти многочлена . В третій рядок переносять a0 = b0 і далі суму добутку кожного коефіцієнта bi на ε із аі+1.