85

ВСТУП.

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ І ВИЗНАЧЕННЯ МОДЕЛЮВАННЯ ЕЛЕКТРОЕНЕРГЕТИЧНИХ СИСТЕМ

Розвиток систем управління електроенергетикою вимагає широкого використовування моделей.

Моделювання в електроенергетичних задачах грунтується на теорії подібності. Виходячи з положень цієї теорії під моделлю розуміють замінник реального об'єкту, у тому числі математичний, що знаходиться у відносині подібності до модельованого об'єкту, а під моделюванням – дослідження моделі (М), тобто: побудова М, вивчення її і перенесення отриманих відомостей на реальний об'єкт [Эл_справ_1].

Прийнято розрізняти наступні види моделей [***]:

- розумові;

- словесні (вербальні);

- геометричні;

- фізичні;

- математичні.

Розумові моделі формуються і зберігаються в свідомості людини у вигляді деяких образів.

Словесні моделі можна розглядати як віддзеркалення розумових моделей, призначене для обміну інформацією між людьми. Опис формули винаходу, текст програми для ЕОМ, інструкція з експлуатації деякого технічного пристрою, літературний твір – все це приклади словесних моделей.

Геометричні моделі дають зовнішнє уявлення про об'єкт-оригінал і характеризуються однаковими з ним пропорціями геометричних розмірів. Ці моделі підрозділяються на двовимірні і тривимірні. Ескізи, схеми, креслення, графіки, живописні роботи є прикладами двовимірних геометричних моделей, а макети будівель, автомобілів, літаків і т.д. – це тривимірні геометричні моделі.

Фізичні моделі характеризуються тим, що мають ту ж фізичну природу, що і об'єкт-оригінал. Наприклад, система енергопостачання міста може бути змодельована на спеціальній електричній схемі, аеродинаміка літального апарату досліджується при продувці його моделі в аеродинамічній трубі і ін.

Математичні моделі є сукупністю математичних об'єктів (чисел, символів, множин і т.д.) і зв'язків між ними, що відображають необхідні властивості об'єкту-оригіналу. При цьому математичні моделі прийнято підрозділяти на моделі-аналоги, структурні моделі і алгоритмічні моделі.

Побудова моделей-аналогів грунтується на властивості ізоморфізму (подібності) математичного опису процесів різної фізичної природи. Наприклад, взаємозв'язку напруги, індуктивності і швидкості зміни струму в часі для електричного кола, теплового потоку, теплоємності і швидкості зміни температури в часі для теплової системи описуються однаковими математичними співвідношеннями. Використовуючи властивість ізоморфізму, можна за допомогою одних об'єктів (частіше всього електричних кіл) досліджувати процеси в об'єктах іншої фізичної природи (теплових, механічних, гідравлічних і ін.).

За допомогою структурної математичної моделі відтворюється структура рівнянь, що описують поведінку досліджуваного об'єкту. На принципах структурного математичного моделювання працюють аналогові обчислювальні машини.

Алгоритмічні моделі відтворюють покроковий процес чисельного вирішення рівнянь, що представляють математичну модель досліджуваного об'єкту. Якщо алгоритмічні моделі реалізуються на цифрових обчислювальних машинах (комп'ютерах), то вони розглядаються як структурні моделі, що працюють з цифровою інформацією. В даному випадку всі перетворення інформації виконуються одним і тим же структурним елементом – процесором. Послідовність рішення задається програмою, а алгоритмічні моделі часто називають цифровими. Слід зазначити, що застосування комп'ютерів робить алгоритмічні моделі самими універсальними: наприклад, з їх допомогою можуть бути відтворені і моделі-аналоги, і структурні математичні моделі.

Крім того, алгоритмічний підхід до математичного моделювання і застосування комп'ютерів дозволяють виконувати і геометричне моделювання.

Залежно від складності модельованих об'єктів і вирішуваних дослідницьких задач прийнято розглядати математичні моделі функціонування цих об'єктів на трьох рівнях [1].

На мікрорівні застосовуються математичні моделі, що описують процеси в суцільних середовищах. Для формування математичних моделей на цьому рівні використовуються рівняння математичної фізики. Прикладами тут можуть служити диференціальні рівняння в приватних похідних для електродинаміки, теплопровідності, газової динаміки. Ці рівняння описують поля електричного потенціалу, температури, напружено-деформований стан деталей механічних конструкцій і ін. Типовими фазовими (залежними) змінними на мікрорівні є електричні потенціали, тиск, температури, щільність струмів, механічні напруги і деформації, а незалежними змінними – час і просторові координати. Моделювання в даному випадку зводиться до рішення межевих задач математичної фізики.

На макрорівні проводиться дискретизація простору з виділенням в якості елементів окремих деталей, електричних і електронних компонентів і ін. При цьому з числа незалежних змінних виключаються просторові координати. Функціональні моделі на макрорівні представляються у вигляді систем алгебраїчних і звичайних диференціальних рівнянь. Кажуть, що на макрорівні моделюються системи із зосередженими параметрами, на цій основі будується теорія електричних кіл. Як фазові змінні на макрорівні використовуються електричні напруги і струми, сили, швидкості, температури і т.д. Вони характеризують прояви зовнішніх властивостей елементів при їх взаємодії між собою і із зовнішнім середовищем.

На метарівні проводиться подальше абстрагування від особливостей протікання фізичних процесів в досліджуваних об'єктах, і будуються моделі інформаційних процесів. Для моделювання аналогових пристроїв, в яких сигнали можуть змінюватися безперервно, використовуються методи дослідження систем автоматичного управління, а для дослідження дискретних (цифрових) пристроїв застосовують математичну логіку, теорію кінцевих автоматів і т.д. Математичні моделі на метарівні представляються у вигляді систем звичайних диференціальних рівнянь, систем логічних рівнянь, імітаційних моделей систем управління електроенергетичними об'єктами.

Для вирішення багатьох практичних задач дослідження і розробки різноманітних електротехнічних пристроїв і систем достатньо проводити їх моделювання як систем із зосередженими параметрами. Тому в курсі, що вивчається, більш детально розглядаються питання моделювання на макрорівні.

Наочним способом графічного відображення моделей систем із зосередженими параметрами є їх уявлення у вигляді еквівалентних схем, основними елементами яких ємність, індуктивність і резистор. Відповідні цим елементам математичні моделі мають наступний вигляд:

де С, L, R – параметри елементів.

Математичні моделі розділяються також на детерміновані, в яких система може бути представлена середніми значеннями параметрів елементів, і вірогідностні (стохастичні), що відображають випадковий характер параметрів елементів. Причинами виникнення випадкових змін параметрів електротехнічних об'єктів є неконтрольовані дії, завжди властиві умовам виробництва і експлуатації. Тому вірогідностні моделі потенційно є більш могутнім засобом дослідження електричних систем. На їх основі можуть бути побудовані імітаційні моделі, що адекватно відображають конкретні умови виробництва і експлуатації, відтворюючі різні способи управління якістю функціонування і ін.

Метою курсу „Математичні методи і моделі в задачах електроенергетики” є формування у студентів знань і умінь, щодо методів розв'язування електротехнічних задач при моделюванні електричних систем.

В підсумку, розв'язування будь-якої реальної фізичної задачі починається з математичного формулювання цієї задачі, яке полягає в побудові математичної моделі, що враховує суттєві сторони явища, що аналізується, і встановлює функціональні залежності між різними характерними величинами цього явища. Процес розв'язування задачі в явному вигляді поєднують з вибором методу розрахунку. Ліше у випадку найпростіших математичних моделей вдається отримати аналітичні (точні) рішення. Здебільшого (в складніших моделях) такі розв'язки знайти неможливо. Тоді використовують наближені і чисельні методи розв'язування.

Побудовою наближених і чисельних методів та їх реалізацією займається обчислювальна математика. Розв'язання задач з використанням указаних методів потребує виконання великого обсягу обчислювальних робіт, які можна здійснити за допомогою сучасних ЕОМ і прикладних програм, таких як MathCAD, MATLAB і інш.

В дисципліні „Математичні методи і моделі в задачах електроенергетики” основним інструментом реалізації методів обчислювальної математики є математичний редактор MathCAD, правила роботи в якому вивчаються в попередньому курсі „Сучасні пакети прикладних програм”.

Лекція 1 елементи теорії похибок

1.1 Задачі обчислювальної математики

Розв‘язання задач з використанням методів обчислювальної математики потребує виконання великого обсягу обчислювальних робіт, які можна здійснити за допомогою сучасних ЕОМ. При цьому слід уміти оцінити похибку обчисленого розв‘язку, яка містить:

– похибку математичної моделі (модель описує явище наближено, з припущеннями і спрощеннями);

– неусувну похибку, яка зумовлена похибками у вхідних даних (що отримані, наприклад, за допомогою вимірювань);

– похибки методу (пов‘язані з необхідністю заміни неперервної моделі дискретною або з обривом нескінченного ітераційного процесу після скінченної кількості ітерацій);

– обчислювальні похибки (похибки заокруглення чисел, похибки математичних дій та функцій).

Оцінка похибки може бути здійснена за допомогою:

– абсолютної похибки;

– відносної похибки;

– залишкового члену;

– статистичних оцінок.

1.2 Абсолютна і відносна похибки

Наближеним числом а є число, яке незначно відрізняється від точного числа А і замінює його при проведенні обчислень.

Абсолютна похибка наближеного числа а

= |А - а|. (1.1)

Можливі два випадки:

1) точне число А відоме – тоді абсолютна похибка Δ_а розраховується за формулою (1.1);

2) точне число А невідоме – в такому разі використовують поняття граничної абсолютної похибки

≥ |А - а|. (1.2)

Значення числа А записують так:

А = а ±

Відносна похибка наближеного числа а

δ_а = (1.3)

Часто використовують ще відносну похибку δ_а·100%. Існує також поняття граничної відносної похибки

≥ .

Можна прийняти

= . (1.4)

3. Значуща цифра числа. Вірна значуща цифра

Будь-яке наближене число а в десятинній (як і у будь-якій позиційній) системі числення можна записати у вигляді

(1.5)

де а_і – цифри числа (і = 1, 2, …, n) (а₁  0); m – ціле число (старший розряд числа а).

Приклад 1. 3141,59 = 3·10³ + 1·10² + 4·10¹ + 1·10⁰ + 5·10^-1 + 9·10^-2.

Точність обчислення визначає не кількість десятинних знаків, а кількість значущих цифр результату.

Значущими цифрами числа а називають всі цифри в його десятинному зображенні, починаючи з першої цифри зліва, відмінної від нуля. Наприклад, числа 0,001405 і 5,0300 мають відповідно чотири і п‘ять значущих цифр.

Нулі в кінці числа 5,0300 показують, що число задане з точністю до десятитисячних, інакше вони не були б записані.

Точність наближеного числа залежить не від кількості значущих цифр, а від того, скільки значущих цифр заслуговують довіри, тобто від кількості правильних значущих цифр.

Значущу цифру а_n числа (1.5) називають правильною, якщо абсолютна похибка цього числа

Δ_а  ·10^m-n+1. (1.6)

В залежності від величини  в (1.6) говорять про правильність значущих цифр у вузькому ( = 0,5) і широкому ( = 1,0) сенсі. Якщо нерівність (1.6) не виконується, то цифру а_n називають сумнівною.

Таким чином, приблизне число а містить n правильних цифр (в вузькому сенсі), якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці десятинного розряду, який виражається значущою цифрою, рахуючи зліва направо.

Приклад 2. Для точного числа А=17,976 число а=17,98 є приблизним числом з 4-ма вірними знаками в вузькому сенсі, тому що

Δ_а = = = 0,004 ≤ 0,5·10^1-4+1 = 0,5·10^-2 = 0,005.

Число а=17,97 є приблизним з 4-ма вірними цифрами в широкому сенсі, тому що

Δ_а = = = 0,006 < 1·10^1-4+1 = 1·10^-2 = 0,01.

Число а=17,97 є приблизним тільки з 3-ма вірними цифрами в вузькому сенсі, тому що

Δ_а = = = 0,006 > 0,5·10^1-4+1 = 1·10^-2 = 0,005.

Приклад 3. Визначити скільки вірних значущих цифр містить приблизне число а=85,267 ± 0,0084 в вузькому і широкому сенсі.

Із умови видно, що 0,0084 < 0,05. Тоді в вузькому сенсі:

0,05 = 0,5∙10^m-n+1

при m = 1 (розряд десяток) маємо 0,5·10^-1 = 0,5∙10^1-n+1 → -1=1- n +1 → n = 3.

Таким чином, вірними є цифри 8, 5 і 2.

В широкому сенсі 0,0084 < 0,01. При m = 1 (розряд десяток) маємо 1·10^-2 = 1∙10^1-n+1 → -2=1- n +1 → n = 4. Таким чином, вірними є цифри 8, 5, 2 і 6.

Приклад 4. Визначити граничну абсолютну похибку приблизних чисел а=96,387 і b=9,32, якщо вони містять тільки вірні цифри в вузькому і широкому сенсах відповідно.

Тому що для числа а=96,387 остання цифра 7, що стоїть в розряді тисячних знаків є вірною значущою цифрою в вузькому сенсі, то Δ_а ≤ 0,5∙0,001, тобто Δ^*а = 0,0005. Тоді число а можна записати в вигляді а=96,387 ± 0,0005.

Для числа b=9,32 остання цифра 2, що стоїть в розряді ситих знаків є вірною значущою цифрою в широкому сенсі, то Δ_b ≤ 1∙0,01, тобто Δ^*b = 0,01. Тоді число b можна записати в вигляді а=9,32 ± 0,01.