2.4. Приклади розв’язання задач розділу «Фізичні властивості напівпровідників»

Задача 2.1.1.

Обчислити положення рівня Фермі відносно дна зони провідності при температурі 400 К для кристалу кремнія з концентрацією донорних домішок .

Розв’язання.

Потенціальна діаграма напівпровідника з електронною провідністю має вигляд приведений на рис.4. Необхідно визначити значення .

Рис. 4. Потенціальна діаграма напівпровідника з електронною провідністю

Рівень Фермі відносно дна зони провідності визначається залежністю ,

.

В невиродженому напівпровіднику з електронною провідністю концентрація електронів менша ніж максимально можлива концентрація електронів в зоні провідності , тобто і рівень Фермі розташований нижче .

Для визначення необхідно обчислити , , для умови завдання.

Температурний потенціал , В дорівнює

.

Для визначення концентрації основних носіїв електронів необхідно обчислити концентрацію власних електронів в кремнії при .

.

Ефективні маси електрона і дірки по відношенню до маси вільного електрона та , а також ширину забороненої зони для спрощення будемо вважати незалежними від температури і використаємо їх значення при .

; ; ,

Тоді 1/см³.

Оскільки концентрація власних електронів значно менша концентрації донорів , то ,

; 1/см³.

Підставляємо значення в вираз для

В.

Висновок.

В напівпровіднику з електронною провідністю рівень Фермі лежить вище середини забороненої зони. Для кремнію В.

Отримана відповідь В , що відповідає теорії.

Задача 2.1.2.

Визначити концентрацію основних та неосновних носіїв заряду, питомий опір домішкового напівпровідника, відношення питомої електронної і діркової провідностей для умов задачі 2.1.1. Рухливість носіїв заряду припустити однаковою для власного та домішкового напівпровідника, тобто вплив домішок на рухливість не враховувати, а враховувати тільки вплив температури. Як зміниться результат задачі, якщо цього припущення не робити? Виконайте ще раз всі обчислення з урахуванням концентрації домішок і температури, порівняйте результати і зробіть висновки.

Розв’язання.

Концентрацію основних носіїв заряду взяти із умов задачі 2.1.1: ; 1/см³; 1/см³

Визначимо концентрацію неосновних носіїв заряду при .

, 1/см³.

Питомі електронна та діркова провідності визначаються виразами , . В умові задачі сказано, що необхідно спочатку обчислити та без врахування впливу домішок, але з врахуванням температури.

Температура впливає на рухливість електронів і дірок. Для кремнію згідно з виразами та при , см²/Вс, см²/Вс маємо:

см²/Вс

см²/Вс.

Питома електронна провідність обчислюється за формулою

.

Зробимо перетворення розмірностей.

.

Обчислимо значення

См/см

См/см.

Відношення провідностей складає .

Питомий опір домішкового кремнію n-типу визначається виразом

. Підставивши числові значення отримаємо Омсм.

З урахуванням впливу температури і домішок на питому провідність і питомий опір результати обчислень зміняться. Необхідно спочатку визначити рухливість носіїв заряду для заданої концентрації донорних домішок 1/см³. при , а потім для знайдених зменшених значень рухливості обчислити, як вони ще зменшаться при нагріванні до .

Домішки зменшують рухливість рухомих носіїв заряду відповідно з виразом , де 1/см³. В кремнії при для електронів складає 1500 см²/(Вс), для дірок – 450 см²/(Вс).

Отже для 1/см³ маємо

см²/(Вс) та см²/(Вс).

Під впливом збільшення температури ці рухливості електронів та дірок ще зменшаться, отже

см²/(Вс) та см²/(Вс).

З урахуванням впливу температури і концентрації домішок

См/см

См/см.

Відношення .

Питомий опір зразка , де повна провідність . Для зразка з електронною провідністю при 1/см³ та , тоді і Омсм.

Висновок.

Порівнюючи результати розрахунків провідностей та питомого опору в умовах, коли концентрація основних носіїв визначається концентрацією донорів , а вплив концентрації незначний, бачимо що збільшення концентрації домішок при сталій температурі зразка приводить до зменшення рухливості носіїв заряду, а отже до зменшення питомої провідності і збільшення питомого опору.

При збільшенні температури зразка при сталій концентрації домішок, різко збільшується концентрація неосновних носіїв за рахунок збільшення концентрації . Ті властивості напівпровідникових приладів, які залежать від концентрації неосновних носіїв, також будуть різко змінюватися із зміною температури. Максимальна робоча температура – це така температура, при якій величина власної провідності стає сумірною з домішковою провідністю, тобто коли .

При аналізі результатів розрахунків видно, що зменшення рухливості носіїв при збільшенні температури виявляє основний вплив на збільшення опору зразка.

Задача 2.1.3.

При якій температурі концентрація власних носіїв заряду у бездомішковому напівпровіднику буде дорівнювати концентрації основних носіїв в домішковому напівпровіднику для умов задачі 2.1.1. Пояснити отриманий результат.

Розв’язання.

З задачі 2.1.1 концентрація електронів складає , 1/см³.

Знайдемо температуру, при якій 1/см³. Підставимо значення з задачі 1.1 у формулу

,

тоді

1/см³.

Необхідно знайти таке значення температури , при якому виконується це рівняння. Найпростіше розв’язати рівняння методом підбору. Для кремнію концентрація 1/см³ досить велика, бо при , 1/см³ тобто шукана температура значно перевищувати . Максимальна робоча температура кремнійових напівпровідникових приладів досягає . Починати підбір необхідно саме з цієї температури (табл.2.1).

Таблиця 2.1. Результати розрахунків концентрації власних носіїв

Температура ,	Концентрація ,1/см3
500	3,541013
600	4,061014
700	2,401015
800	1,01016

Висновок.

Отримати таку концентрацію власних носіїв в кремнієвому приладі практично неможливо, бо температура при якій вона досягається, на перевищує максимально допустиму.

Задача 2.1.4.

Визначити значення дрейфового струму через стержень довжиною 5 см з площею поперечного перерізу 0,5 см² до кінців якого прикладена різниця потенціалів 10 В (рис.5). Визначити середню дрейфову швидкість електронів і дірок. Числові значення взяти з умови задачі 2.1.1

Розв’язання.

Рис. 5. До умови задачі 1.4

Під дією різниці потенціалів в зразку з електронною провідністю виникає дрейфовий струм електронів та дірок. Середня дрейфова швидкість рухливих носіїв заряду в напівпровідниках залежить від напруженості електричного поля. В слабких електричних поля, для яких дрейфова швидкість рухливих носіїв заряду значно менша теплової швидкості , дрейфова швидкість лінійно залежить від напруженості електричного поля . Ця залежність зберігається до критичного значення напруженості електричного поля , при якій дрейфова швидкість стає сумірною з тепловою швидкістю .

Значення для кремнію та германію при наведена в табл.2.2.

Таблиця 2.2. Значення критичної напруженості

Критична напруженість поля, В/см	Кремній	Германій
Для електронів	2500	900
Для дірок	7500	1400

За умовою завдання напруженість електричного поля значно менше критичної В/см, що дозволяє застосувати закон Ома для визначення сили дрейфового струму .

Питомий опір зразка при температурі і концентрації донорів 1/см³ обчислений в завданні 1.2 Омсм. Тоді

А.

Середня дрейфова швидкість електронів і дірок обчислюється для рухливостей визначених при і 1/см³

; см/с

; см/с.

Висновок.

Невелика дрейфова швидкість руху носіїв заряду в напівпровідниках є одним з обмежувальних факторів швидкодії напівпровідникових приладів. В сильних електричних полях В/см вона наближається до середньої теплової швидкості. Для кремнію при максимальна швидкість складає для електронів 110⁷ см/с, для дірок 0,810⁷ см/с.

Задача 2.1.5.

Визначити густину дифузійного струму для стержня з геометричними розмірами з задачі 1.4, якщо концентрація домішок змінюється за лінійним законом від одного кінця стержня до іншого на порядок. Пояснити рівноважний стан такого стержня (рис.6). Побудувати потенціальну діаграму. Визначити величину і напрям внутрішнього електричного поля цього неоднорідно легованого напівпровідника. Використати числові значення умови задачі 2.1.1. Пояснити отримані результати.

Розв’язання.

Пояснення рівноважного стану стержня.

Рис. 6. До умови задачі 1.5

В робочому діапазоні температур напівпровідникових приладів всі домішки іонізовані. Концентрація електронів на кінці 2 зразка (рис.6) більша ніж на кінці 1, тобто існує градієнт концентрації електронів і виникає дифузія, яка породжує внутрішнє електричне поле в зразку. Поле створюється некомпенсованими об’ємними зарядами нерухомих іонів і об’ємним зарядом електронів, які перейшли в результаті дифузії ліворуч . Напрям поля позначений на рис.6. Електричне поле в зразку породжує зворотний дрейфовий рух електронів, тобто дифузійний струм компенсується зворотним дрейфовим струмом. Струм в зовнішньому колі зразка відсутній . На потенціальній діаграмі напівпровідника стан рівноваги характеризується горизонтальністю рівня Фермі.

Обчислення густини дифузійного струму.

Струм в зразку створюється не тільки основними, а і неосновними носіями – дірками.

,

де та - градієнти концентрацій основних та неосновних носіїв заряду, та - середні по довжині зразка коефіцієнти дифузії електронів та дірок.

см^-4.

Концентрації неосновних носіїв дірок на кінцях зразка визначаються з умови термодинамічної рівноваги , .

Концентрація власних носіїв в кремнії при визначені в задачі 2.1.1. 1/см³.

1/см³

1/см³

см^-4

Градієнт концентрації неосновних носіїв дірок значно менший ніж градієнт концентрації електронів і при розрахунку густини дифузійного струму ним можна знехтувати.

Коефіцієнт дифузії в неоднорідно легованому напівпровіднику змінюється по довжині зразка, бо змінюється рухливість електронів по довжині зразка.

На кінці 1 зразка маємо . для та 1/см³ визначено в задачі 2.1.2 і складає см/Вс. В. Тоді см²/с.

Визначимо коефіцієнт дифузії на кінці 2 зразка.

Для його визначення необхідно розрахувати рухливість електронів для концентрації донорів 1/см³ і температурі .

При

см²/Вс.

При

см²/Вс.

Коефіцієнт дифузії

см²/с.

Середнє значення коефіцієнту дифузії електронів

, см²/с.

Густина дифузійного струму

, А/см.

Побудова потенціальної діаграми.

Побудову діаграми необхідно почати з проведення горизонтального рівня Фермі (рис.7.), тому що зразок знаходиться в рівноважному стані .

Оскільки на кінці 2 зразка концентрація донорних домішок більша ніж на кінці 1, рівень Фермі наближається ближче до дна зони провідності на кінці 2 ніж на кінці 1, де і потенціали дна зони провідності на кінцях 1 та 2 зразка. Різниця потенціалів обчислена в задачі 2.1.1. Вона складає 0,25 В.

Рис. 7. Потенціальна діаграма до задачі 1.5

Різниця потенціалів на другому кінці зразка визначається виразом

і складає

В.

Обравши відповідний масштаб відкладемо на діаграмі від рівня Фермі і та отримаємо точки та . Сполучивши точки визначаємо розташування дна зони провідності відносно рівня Фермі.

На потенціальній діаграмі відкладемо в масштабі від потенціалів точок та ширину забороненої зони кремніюВ і отримаємо точки та . Пряма лінія між точками та визначає розташування стелі валентної зони відносно рівня Фермі. Перепад електричних потенціалів по довжині зразка визначаємо як .

В.

Напруженість електричного поля в зразку дорівнює:

; В/см.

Висновок.

При будь якому розподілі концентрації домішок в зразку і будь якій температурі зразок знаходиться в рівноважному стані і не є джерелом електричного струму. При наявності градієнтів електричного та хімічного потенціалів, тобто при наявності дрейфового та дифузійного струмів основних та неосновних носіїв в зразку таке можливо лише при одній умові і ці струми течуть в протилежних напрямках.