- •Лекция 1 математическое описание сигналов различного типа. Разложение сигнала по системе ортогональных и ортонормальных функций. Разложение функции в ряд фурье.
- •Разложение периодической функции в ряд Фурье.
- •Определение коэффициентов ряда Фурье.
- •Частный случай ряда Фурье.
- •Нахождение коэффициентов ряда Фурье от произвольной функции с симметричными пределами.
- •Частные случаи ряда Фурье.
- •4. Случай произвольного половинного промежутка
- •Комплексная форма ряда Фурье.
- •Лекция 2
- •Частный случай интеграла Фурье.
- •Комплексная форма интеграла Фурье.
- •Лекция 3 спектральный анализ и синтез функции.
- •Спектральные характеристики, зависящие от времени.
- •Свойства непрерывного спектра. (Свойства преобразований Фурье).
- •Лекция 4 разложение функции в ряд лорана.
- •Свойства рядов Лорана.
- •Классификация изолированных особых точек.
- •Лекция 5 вычет функции в особой точке. Применение вычетов.
- •Поведение функции в окрестностях бесконечно удаленной точки.
- •Пример:
- •Применение вычетов.
- •Лекция 6. Оптимальное управление.
- •Пути построения оптимальных систем.
- •Методы решения задач оптимизации. Принцип максимума Понтрягина.
- •Метод динамического программирования.
- •Симплекс метод.
Спектральные характеристики, зависящие от времени.
Функция:
называется текущей спектральной характеристикой и используется при исследовании реальных процессов. В этом случае момент начала процесса известен заранее, и его можно определить как нулевой. При этом преобразование Фурье имеет вид:
На интервале .
Наблюдение ведется на конечном промежутке времени, следовательно, верхний предел интеграла можно взять t. В результате получаем выражение для текущей спектральной характеристики:
Полученное выражение называется мгновенной спектральной характеристикой и используется в тех случаях, когда исследуется влияние на функцию не на всем интервале наблюдения, а лишь в момент предшествующий рассматриваемому явлению.
Найдем взаимосвязь между двумя последними выражениями. Для этого представим мгновенную спектральную плотность в виде:
в результате получим разность 2 текущих спектров. Обозначим ее через .
Когда
Свойства непрерывного спектра. (Свойства преобразований Фурье).
- преобразование Фурье.
- обратное преобразование Фурье.
- свойство линейности.
Линейной комбинации функций соответствует комбинация спектральных характеристик этих функций. Обратное преобразование Фурье от линейных комбинаций спектральных функций имеет вид:
- свойство дифференцирования.
Спектр производной функции определяется как спектр исходной функции умноженной на
.
-свойство интегрирования.
Спектр от интеграла некоторой функции на интервалеопределяется как спектр исходной функции, деленной на:
-спектр смещенной функции.
Спектр смещенной функции равен спектру исходной функции умноженной на , где- смещение функции.
-изменение масштаба.
(Сжатие или растяжение). Рассмотрим функцию . Построим график функции:
если
В этом случае:
Сжатие исходного сигнала на величину по времениt приводит к расширению спектра в раз по частоте.
-распределение энергии по гармоникам непериодического сигнала:
Найдем спектр от произведения 2 функции:
Если заданы 2 функции , спектры которых соответственно равны:
то спектр от произведения этих функций будет равен:
в случае если , то спектр равен:
Где - энергетическая спектральная характеристика.
-интеграл свертки.
Рассмотрим ина интервале. Функция:
называется сверткой функции и обозначается:
Спектр от свертки функций определяется как произведение спектральных характеристик этих функций:
-спектр от произведения двух функций
Вопросы для самоконтроля.
Понятие спектра.
Свойства непрерывного спектра.
Понятие спектральной характеристики.
Спектры зависящие от времени.
Лекция 4 разложение функции в ряд лорана.
Цель. Изучить теорию о вычетах функции.
Задачи:
Рассмотреть разложение функции в ряд Лорана.
Изучить свойства рядов Лорана.
Изучить классификацию изолированных особых точек.
Теорема Лорана.
При исследовании поведения регулярной функции в окрестностях изолированной особой точки, требуется разложить ее в ряд Лорана в кольце:
Если регулярная аналитическая функция в кольце [1], то всюду в этом кольце она раскладывается в ряд:
- простой замкнутый контур, окружающий точку и расположенный в кольце.
Доказательство.
Пусть z – фиксированная произвольная точка в кольце . Выберем радиусы окружностей:
так, что:
Тогда значение функции можно представить с помощью интегральной формы Коши:
Множитель представим в виде:
Ряд [4] равномерно сходится по на окружности Г. Подставим [4] в [3] и интегрируя почленно получим:
Множитель в интеграле попредставим в виде:
Ряд [7] равномерно сходится по на окружности. Подставим [7] в [3]и интегрируя почленно получим:
Заменяя в [8] n на k и объединяя два ряда [8] и [5] получим разложение вида [2].