Лекція № 3 Формули зведення. Перетворення виразів. (Самостійна робота. Тригонометричні функції суми та різниці двох кутів, подвійного аргументу.) План вивчення теми

1.Правила переходу від функції кутів до функції кута

2. Косинус різниці і суми.

3. Синус суми і різниці.

4. Тангенс суми і різниці.

5. Синус, косинус, тангенс подвійного кута.

6. Приклади застосування.

Домашнє завдання: [2] §21c.278-288; [3]гл.3§1-3 с.128-170, [4] p1 §8,10; опорний конспект.

Кожну тригонометричну функцію кутів можна виразити через тригонометричну функцію кута

Формули називають формулами зведення, бо вони дають можливість кожну тригонометричну функцію довільного кута (а отже – і числа) звести до тригонометричної функції гострого кута.

Якщо кут зводжуваної тригонометричної функції відкладається від вертикального діаметра, то її замінюють кофункцією, якщо ж – від горизонтального діаметра, то її назву не змінюють. Знак ставимо такий, який має значення зводжуваної функції за умови, що кут гострий.

Приклад. Нехай треба спростити вираз

Перед результатом треба поставити знак мінус, бо коли кут гострий, то кут належить третій чверті і його косинус від’ємний. Кут відкладається від вертикального діаметра, тому назву функції треба замінити на Отже,

Зауваження. Користуючись правилом зведення, ми тільки для зручності приймаємо, що кут гострий. Насправді ж у кожній з формул зведення під змінною можна розуміти і міру довільного кута, зокрема й від’ємного, і будь-яке дійсне число

Доведіть тотожність.

а) б)

в) г)

д) е)

Розв’язання.

а)

б)

а) б)

в)(самостійно)

Обчисліть значення виразу.

а)

б)

в)

г)

Формули додавання.

Теорема. Які б не були кути або числа і, завжди

Доведення. Нехай і - довільні кути. На одиничному колі їм відповідають точки і (мал.18). Виразимо квадрат відстані між точками і двома способами. Якщо , де , то за теоремою косинусів

А згідно з теоремою про квадрат відстані між двома точками

Отже, звідки

Ми розглянули випадок, коли , де . В інших випадках кут може дорівнювати або , де . Косинус кожного з таких кутів дорівнює Тому доводжувана теорема правильна для будь-яких кутів і , а отже, і для довільних дійсних чисел і.

На основі доведеної теореми і формул зведення можна вивести подібні формули для перетворення виразів і

Доведемо ще формули для перетворення виразів

Отже, маємо 6 формул:

Це – формули додавання.

1. Обчисліть значення

Розв’язання.

Відповідь:

2. Обчисліть значення , , .(самостійно)

3. Обчисліть значення виразу

Розв’язання.

а)

б)

в)

4. Знаючи, що і причому обчисліть значення:

а) б) в)

Розв’язання:

а)

.

б)

в)