Тригонометричні функції кутів

Кожному значенню кута відповідає єдине значення Значення залежить від значення . Тому - функція від . Функціями від є також . Усі ці чотири функції називають тригонометричними функціями.

- це ордината точки одиничного кола, яка відповідає куту (мал.7). Якщо - перпендикуляр, опущений з точки на вісь , то відрізок називають лінією синуса, а - лінією косинуса. Якщо точка знаходиться у I або II координатній чверті, то якщо точка в III або IV чверті, то Говорять, що у I і II чвертях синус кута додатний, а в III і IV чвертях від’ємний.

Таким чином, правильні тотожності:

Користуючись ними, можна порівняно легко обчислювати значення тригонометричних функцій від’ємних кутів.

Приклади.

1.

2.

3.

Оскільки і - ордината і абсциса деякої точки одиничного кола,рівняння якого , то завжди

З означень тангенса і котангенса випливають також тотожності:

Три останні формули правильні тільки за умови, що чи існують (мають значення). існує, якщо тобто якщо існує, якщотобто коли де довільне ціле число.

Усі ці чотири формули називають співвідношеннями між тригонометричними функціями одного аргументу, а основною тригонометричною тотожністю.

Користуючись ними, можна значення будь-якої тригонометричної функції виразити через відповідне значення іншої тригонометричної функції.

Приклади.

1. Знайдемо і , знаючи що і

Оскільки то Синус кута у I чверті додатний, тому

Знайдемо , знаючи, що і

У III чверті і Нехай , тоді .

Оскільки то

2. Знайдіть значення:

а) , якщо і

б) , якщо і

в) , якщо і

г) , якщо і

д) якщо і

Розв’язання:

а) Оскільки то

(кут II чверті),

Відповідь: ;

б) Оскільки то

(кут III чверті),

,

Відповідь: , ,

3. Доведіть тотожність:

а)

б)

Розв’язання:

а) якщо

б) якщо

4. Спростить вираз

а) б)

в) г) д)

Розв’язання :

а) (основна тригонометрична тотожність);

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

д) .

Тригонометричні функції числових аргументів.

Досі ми розглядали тригонометричні функції кутів. При цьому вирази не мали змісту. Бо не можна до градусної міри кута додавати число. Не має змісту і квадрат міри кута. А розв’язання багатьох задач приводить до аналізу подібних виразів. Тому математики часто мають справу з виразами , де - не міра кута, а абстрактне число. Що ж розуміють під синусом, косинусом,тангенсом і котангенсом дійсного числа?

Накреслимо одиничне коло з початковим радіусом і проведемо через перпендикулярно до координатну пряму , одиничний відрізок якої дорівнює (мал.10). Уявимо, що координатна пряма намотується на одиничне коло. При цьому можна точка координатної прямої відобразиться на деяку точку одиничного кола: на кожну точку кола - безліч точок координатної прямої. Таким способом кожному дійсному числу можна поставити у відповідність певну точку одиничного кола. Ця точка одиничного кола відповідає числу .

Синусом числа називається ордината точки одиничного кола, яка відповідає числу .

Косинусом числа називається абсциса точки одиничного кола, яка відповідає числу .

Тангенсом числа називається відношення синуса числа до його косинуса.

Котангенсом числа називається відношення косинуса числа до його синуса.

Кути вимірюють не тільки градусами, а й радіанами.

Кутом в 1 радіан називають центральний кут, якому відповідає довжина дуги, що дорівнює довжині радіуса кола.

1 радіан.

Кожне твердження про тригонометричні функції числа рівнозначне твердженню про тригонометричні функції кута радіанів і навпаки. Зокрема формули

Правильні для кожного (допустимого) значення .

Для допустимі всі дійсні значення , крім а для - всі дійсні значення , крім де

Градусна і радіанна міри кутів пов’язані такими залежностями:

радіан, радіан.

Заповніть порожні місця в таблиці.

Градуси		45	105		135			70
Радіани

Градуси	60		120	150		72			20
Радіани

Наприклад:

радіан; радіан.

, .

Обчисліть значення виразу.

а) б)

в) г)

Розв’язання:

а)

б),

в) ,

г) .

Доведіть тотожність

а)

Розв’язання:

б)

Розв’язання:

в)

Розв’язання:

г)

Розв’язання:

д)

Розв’язання:

е)

Розв’язання:

ж)

Розв’язання:

Спростіть вираз.

а)

Розв’язання:

б)

Розв’язання:

в)

Розв’язання:

г)

Розв’язання:

д)

Розв’язання:

е)

Розв’язання:

ж)

Розв’язання:

з)

Розв’язання: