Лекція № 7 Оберненні тригонометричні функції. План вивчення теми

1. Поняття оберненої функції.

2. Властивості оберненої функції.

Домашнє завдання: [2] §23;24c.312-323,c.323-330; [3] с.156-163, [4] p2 §2; опорний конспект.

Рівняння називається тригонометричним, якщо його невідомі містяться під знаками тригонометричних функцій.

Рівняння задовольняють значення і .

А оскільки для кожного дійсного значення і цілого завжди то коренями даного рівняння є не тільки числа і , а й і , де -будь-яке ціле число. Відповідь записують так:

Рівняння можна розв’язати за допомогою калькулятора:

.

Отже, маємо множину наближених розв’язків:

,

А як знайти множину точних розв’язків такого рівняння?

Нехай Арккосинусом числа називають кут або число з проміжку косинус якого дорівнює . Наприклад,

Множину розв’язків рівняння можна записати так:

Взагалі, рівняння при розв’язків не має, а при множина його розв’язків

Подібно до арккосинуса означають арккосинус і арктангенс.

Нехай . Арксинусом числа називають кут або число з проміжку косинус якого дорівнює .

Наприклад,

Рівняння має розв’язки і .

Оскільки функція періодична з найменшим додатним періодом , то дане рівняння має дві серії розв’язків: і ,

Тут і далі в подібних рівностях - довільне ціле число.

Арктангенсом числа називають кут або число з проміжку тангенс якого дорівнює .

Позначають його

Рівняння має розв’язки при будь-якому дійсному . Один його розв’язок Оскільки функція періодична з найменшим додатним періодом , то множина всіх розв’язків даного рівняння

Корисно пам’ятати такі формули коренів тригонометричних рівнянь:

Рівняння при має множину розв’язків У всіх інших випадках воно рівносильне рівнянню

Лекція № 8 – 10 Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь та нерівностей. План вивчення теми

1. Поняття найпростіших тригонометричних рівнянь, нерівностей.

2. Приклади розв’язання тригонометричних рівнянь, нерівностей.

Домашнє завдання: [2] §23;24c.312-323,c.323-330; [3] с.156-163, [4] p2 §2; опорний конспект.

Розв’язуючи складніші тригонометричні рівняння, зводять їх до простіших, як це звичайно роблять при розв’язанні алгебраїчних рівнянь. Деякі тригонометричні рівняння зводять до квадратних.

Приклад. Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Нехай Рівняння має два корені: і Значення косинуса не може дорівнювати Отже, звідки

Відповідь. де

Розв’яжіть рівняння

а) б) в)

г) е) д)

Розв’яжіть рівняння

а) б) в)

Розв’яжіть рівняння

а) б) в) .

Розв’яжіть рівняння

а) б) ;

Розв’язання. а)

б)

Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Оскільки корені рівняння не є коренями даного рівняння (бо при ), то можна вважати, що Тому обидві частини даного рівняння можна поділити на Дістанемо:

Це – квадратне рівняння відносно Його корені , звідки і звідки

Відповідь. , де

Розв’яжіть систему рівнянь:

а) б)

Розв’язання. а) Додамо почленно рівняння системи:

Віднімемо друге рівняння системи від першого:

Відповідь. де і

б)

Відповідь. де