3. Базовые объекты системы matlab

Особенностью системы MATLAB является то, что ее базовый объект – это матрица или вектор. Теория матриц – раздел высшей алгебры, являющейся обобщением и развитием школьного курса алгебры, наряду с математическим ана­­лизом и аналитической геометрией, составляет фундамент математической на­­уки, входит в программу подготовки современного специалиста. Выс­шая алгебра разделяется на линейную алгебру, в основе которой лежит задача решения систем уравнений первой степени, и алгебру многочленов, которая изучает уравнения произвольной степени относительно одной неизвестной.

В связи с необходимостью решения систем линейных уравнений разработан аппарат матриц и определителей. С другой стороны, изучение си­стем линейных уравнений потребовало введения и изучения многомерных (век­­­торных) пространств. Этот математический аппарат позволяет получать эффективные и компактные решения многих теоретических и прикладных задач, в которых фигурируют не только алгебраические, но и диффе­ренциальные уравнения.

В настоящее время существует вычислительная линейная алгебра: коэффициенты уравнений, решаемых в прикладных (инженерных) задачах, обычно получаются в результате измерений и известны приближенно – поэтому и корни обычно находят с не­­которой заданной точностью. В инженерном деле исключительно высока роль различных численных методов, которые успешно реализуются с помощью ЭВМ. Важным инструментом решения данного круга задач является, в частности, и система MATLAB.

3.1. Способы формирования матриц и векторов

Матрицы представляют собой системы чисел, расположенных в прямоу­голь­ных та­б­ли­цах из m строк и n столбцов (матрица, имеющая размер m x n); в системе MATLAB матрицы обозначаются квадратными скобками, т.е. :

,

где . Числа являются элементами матрицы. Если , имеем квадратную матрицу порядка n. Диагональной является квадратная матрица, у которой при , т.е.

;

элементы расположены на главной диагонали. Если все эти элементы ра­вны друг другу (), получаем скалярную матрицу; при – единичную (ее обозначают через Е). Матрица, состоящая из одного числа, отождествля­ет­ся с этим числом. Матрица, все члены которой равны нулю, называется нулевой и обозначается 0.

Вводится также понятие многомерного векторного пространства, элементы ко­торого называются векторами; n-мерный вектор – это упорядоченная система n чисел , где – компоненты вектора а. Векторами являются ма­трица-столбец и матрица-строка ; скаляр – это матрица с размерами . Примеры векторов: от­резки, выходящие из начала системы координат (двух- и трехмерной); коэффициенты линейного уравнения или решение системы линейных уравнений с n неизвестными со­ставляют n-мерный вектор. Положение твердого тела в пространстве определяется упо­рядоченной системой из шести действительных чисел.

Матрицы в системе MATLAB формируются одним из следующих способов: прямой ввод значений элементов (заполнение строк и столбцов); генерирование с помощью встроенных операторов или функций; создание в процессе работы программ (m-файлов); загрузка из внешнего файла.

При прямом вводе матрицы ее элементы отделяются друг от друга пробелами или запятыми; строки – символом (;):

» A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

или

» A=[1 2 3

4 5 6

7 8 9]

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

» A=[1,2,3

4,5,6

7,8,9]

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Введенная матрица хранится в памяти как соответствующая переменная и может быть ис­пользована в последующих вычислениях:

» format long, exp(A)

ans =

1.0e+003 *

0.00271828182846 0.00738905609893 0.02008553692319

0.05459815003314 0.14841315910258 0.40342879349274

1.09663315842846 2.98095798704173 8.10308392757538

Элементы новой матрицы равны и имеют общий множитель , что придает результату компактный вид.

Элементами матриц могут быть любые выражения, допустимые в среде MATLAB:

» a=5; B=[-1.3 sqrt(-3) 24/a]

B =

-1.3000 0 + 1.7321i 4.8000

Возможна вставка дополнительных элементов:

» B(5)=abs(B(2)); B

B =

Columns 1 through 4

-1.3000 0 + 1.7321i 4.8000 0

Column 5

1.7321

В этом примере вставлен пятый элемент; четвертый по умолчанию принят равным нулю; надписи появляются, если выводимые элементы не помещаются в пределах экрана. Дополнительная строка может быть вставлена в исходную матрицу так:

» C=[A;[10 11 12]]

C =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

В примере, приведенном ниже, удерживаются первые три строки, т.е. восстанавливается матрица А:

» C=C(1:3,:)

C =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Здесь в операции присваивания: прежней бук­вой С обозначена новая матрица. Если элементы целочисленные, то их упоря­­доченную последовательность можно задать в упрощенной форме (квад­рат­ные скобки могут быть опущены):

» A=1:4, B=[5:8]

A =

1 2 3 4

B =

5 6 7 8

Можно также задать вектор с элементами, отделенными друг от друга произволь­ным шагом:

» C=0:0.1:1.0

C =

Columns 1 through 7

0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000

Columns 8 through 11

0.7000 0.8000 0.9000 1.0000

» C=0:pi/4:2*pi

C =

Columns 1 through 7

0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416 3.9270 4.7124

Columns 8 through 9

5.4978 6.2832

Так задают диапазон аргумента функции при построении графика последней.

Создадим квадратную матрицу с нормальными случайными элементами:

» a=randn(4)

a =

1.1650 -0.6965 0.2641 1.2460

0.6268 1.6961 0.8717 -0.6390

0.0751 0.0591 -1.4462 0.5774

0.3516 1.7971 -0.7012 -0.3600

и определим элементы на ее главной диагонали:

» diag(a)

ans =

1.1650

1.6961

-1.4462

-0.3600

Примеры создания ряда стандартных матриц: нулевой

» zeros(3)

ans =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

единичной

» eye(3)

ans =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

с единичными элементами:

» ones(3)

ans =

1 1 1

1 1 1

1 1 1