2. Дискретизация уравнений.

Метод характеристик

Уравнения речной гидравлики, как все уравнения турбулентного движения жидкостей, не имеют точных аналитических решений. Они решаются приближенно. Последние десятилетия стали временем быстрого развития приближенных математических методов. Это в немалой степени стимулировалось еще более быстрым совершенствованием электронных вычислительных машин.

Методы приближенного решения дифференциальных уравнений основаны на их дискретизации. Дискретизацией называют замену непрерывных переменных наборами занумерованных значений этих переменных в некоторых избранных точках пространства в некоторые избранные моменты времени. Выбор этих значений и операции над ними могут производиться по разному. Это приводит к формированию различных методов приближенного решения уравнений. В задачах механики жидкостей находят применение четыре метода: метод характеристик, метод конечных разностей, метод конечных элементов и метод граничных элементов. В последнем используется модель потенциального течения, которое редко встречается при моделировании естественных потоков. Поэтому дальше рассматриваются только три первых метода.

Начнем с метода характеристик. Основная область его применения это решение задач одномерного неустановившегося движения воды в открытых руслах.

Ареной событий в методе характеристик служит фазовая плоскость (x,t). Событие состоит в локальном нарушении непрерывности производных от элементов движения по координатам. Нарушение считается малым и именуется возмущением. Возникнув в некоторой точке плоскости (x,t), возмущение распространяется отсюда вдоль линий, называемых характеристиками исходного дифференциального уравнения неустановившегося движения. Уравнения Сен-Венана относятся к гиперболическим дифференциальным уравнениям второго порядка, имеющим два семейства характеристик: прямых и обратных. Уравнения характеристик имеют вид:

(2.1)

скорость называется волновой скоростью. На рис.2 схематически показано распространение в речном потоке возмущения, вызванного началом паводка на притоке. На рис.3 представлены характеристики в спокойном потоке (т.е. при ) при двух случаях движения: с>u и c=u.

Решение дифференциальных уравнений неустановившегося движения по методу характеристик доведено до расчетных выражений применительно к случаю движения воды в призматических руслах с постоянным уклоном дна. Уравнения Сен-Венана в таких руслах имеют вид:

(2.2)

(2.3)

Основу метода характеристик составляет замена зависимой переменной H переменной . Сделав в уравнениях (2.2), (2.3) подстановку

, (2.4)

получаем систему:

(2.5)

(2.6)

Эта система должна решаться при заданных начальных и граничных условиях. Начальными условиями обычно считают состояние установившегося равномерного движения воды в открытом призматическом русле с определенным расходом воды Q(0) и отвечающей ему нормальной глубиной H₀. Граничным условием на верхней границе рассматриваемого потока служит гидрограф паводка или попуска. На нижней границе задают или кривую расходов при установившемся движении, или постоянный уровень (при впадении потока в водоем). Дополнительно должна быть задана величина I_f уклона трения. Чаще всего для этого используются зависимости Шези и Маннинга, т.е. формула:

(2.7)

Считается желательным, чтобы коэффициент шероховатости n был определен по натурным данным, отвечающим состоянию потока при начальном расходе воды Q(0). Изменение коэффициента n при изменении расхода воды во внимание не принимается, хотя это может вызывать существенные погрешности.

После нескольких тождественных преобразований система (2.5), (2.6) двух дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка превращается в систему четырех обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта система записывается:

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.11)

Эту систему можно проинтегрировать приближенно, применив, например, способ трапеций. Назначим для этого на фазовой плоскости, при координате t=0, две группы точек: точки L₁,L₂,L₃,..., из которых выходят прямые характеристики и точки R₁,R₂,R₃,..., из которых выходят обратные характеристики. Будем искать теперь координаты точек M₁,M₂,M₃,..., в которых одноименные характеристики пересекаются. Для этого составим систему разностных уравнений, основанных на способе трапеции:

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

Эту систему нелинейных алгебраических уравнений можно решить посредством итераций. Опыт показывает, что двух-трех приближений обычно бывает достаточно. Начав с точек L и R, лежащих на ординате t=0, получим первый набор точек М , который сделаем исходным для следующего набора и т.д. В итоге будем иметь сетку характеристик, в узлах которой, т.е. при определенных значениях x и t определены, с требуемой точностью, значения скоростей u и c. От скорости с_м легко перейти к средним глубинам воды Н_м. Сетка характеристик в законченном виде показана на рис.4.

Изложенная методика вычислений вследствие ее громоздкости не стала популярной. Положение здесь аналогично положению с системой натуральных координат: сетку, на которой решается задача, приходится строить в процессе решения. В задачах неустановившегося движения метод характеристик применяется в настоящее время лишь как вспомогательное средство для замыкания системы уравнений метода конечных разностей.