- •Электроны в твердых телах Мурзакаев а.М.
- •Глава 1 Элементы квантовой механики.
- •Глава 2. Зонная теория твердых тел.
- •Глава 3. Статистика носителей заряда в твердых телах.
- •Глава 4. Электропроводность твердых тел.
- •Глава 1. Элементы квантовой механики
- •1.1. Экспериментальные и теоретические предпосылки квантовой механики
- •1.2. Гипотеза де Бройля. Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц
- •1.3. Волновая функция свободного электрона. Статистический смысл волновой функции
- •1.4. Соотношения неопределенностей Гейзенберга
- •1.5. Уравнение Шредингера
- •1.6. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме
- •1.7. Квантовый гармонический осциллятор
- •1.8. Прохождение частиц через потенциальный барьер. Туннельный эффект
- •1.9. Водородоподобные атомы
- •Глава 2 зонная теория твердых тел
- •2.1. Движение электронов в периодическом поле кристалла. Уравнение Шредингера для кристалла
- •2.2. Энергетические зоны в приближении сильной связи
- •2.3. Общие свойства волновой функции электрона в периодическом потенциале. Теорема Блоха
- •2.4. Модель Кронига-Пенни
- •2.5. Энергетические зоны в модели Кронига-Пенни
- •2.6. Заполнение энергетических зон электронами. Металлы, диэлектрики и полупроводники
- •2.7. Эффективная масса электрона в кристалле и ее физический смысл
- •2.8. Собственные полупроводники. Понятие о дырках
- •2.9. Примесные полупроводники
- •Глава 3 статистика носителей заряда в твердых телах
- •3.1. Статистическое описание коллектива частиц.
- •Функция распределения частиц по состояниям. Фермионы и бозоны
- •3.2. Функция распределения Ферми-Дирака. Уровень Ферми. Энергия Ферми. Влияние температуры на распределение Ферми-Дирака
- •3.3. Функция плотности состояний электронов и дырок
- •3.4. Концентрации электронов и дырок в полупроводнике. Закон действующих масс. Невырожденный газ электронов и дырок
- •3.5. Уровень Ферми в полупроводниках
- •3.6. Равновесные и неравновесные носители заряда. Квазиуровни Ферми
- •Глава 4 электропроводность твердых тел
- •4.1. Дрейф свободных носителей заряда в электрическом поле
- •4.2. Электропроводность металлов
- •4.3. Электропроводность собственных полупроводников
- •4.4. Электропроводность примесных полупроводников
1.8. Прохождение частиц через потенциальный барьер. Туннельный эффект
Рассмотрим поведение квантовомеханической частицы при прохождении через потенциальный барьер конечной ширины (рис.1.7). Ограничимся рассмотрением одномерной задачи, когда ось x параллельна движению частицы. В каждой из трех областей I, II и III потенциальная энергия микрочастицы постоянна, но при переходе из одной области в другую меняется скачком. Эта задача моделирует многие физически важные явления, например, выход электронов из металлов, распад атомных ядер и др.
Уравнение Шредингера в этом случае будет иметь вид
, (1.40)
где E - полная энергия частицы, а потенциальная энергия
.
Рис. 1.7. Потенциальный барьер конечной ширины
В области I уравнение (1.40) будет иметь вид
. (1.41)
Частное решение уравнения (1.41) будем искать в виде волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси x:
(1.42)
Подставляя (1.42) в (1.41), получим
(1.43)
Общее решение уравнения (1.41) для области I представляет собой суперпозицию плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях оси x:
(1.44)
Для области II уравнение Шредингера запишется в виде
. (1.45)
Общее решение этого уравнения будет иметь вид
(1.46)
где волновое число в области II
(1.47)
Уравнение Шредингера для микрочастицы в области III будет иметь тот же вид, что и в области I. Общее решение для этой области будет отличаться от решения (1.44) тем, что в области III нет отраженной волны (b3 = 0)
(1.48)
Для вычисления коэффициентов a1, b1, a2, b2 и a3 воспользуемся граничными условиями, согласно которым на границах областей волновая функция и ее первая производная должны быть непрерывны.
(1.49)
Для простоты вычислений можно положить a1=1, т.к. все коэффициенты b1, a2, b2 и a3 можно, не изменяя общности задачи, разделить на a1. Тогда из условий (1.49) получим систему алгебраических уравнений относительно неизвестных b1, a2, b2 и a3
(1.50)
В случае, когда энергия частицы меньше высоты потенциального барьера (E < U), волновое число k2 будет мнимым и его можно представить в виде k2=ik, где
- действительное.
Вероятность обнаружить частицу за потенциальным барьером (в области III) равна квадрату модуля амплитуды, прошедшей в эту область волны: D = |a3|2 = = a3a3* . Величину D называют коэффициентом прозрачности барьера.
Решая систему уравнений (1.50) с учетом граничных условий (1.49), получим следующее выражение для коэффициента прозрачности:
(1.51)
Формулу (1.51) можно значительно упростить, если положить
что для реальных ситуаций справедливо, и пренебречь слагаемыми, значительно меньшими, чем экспонента. Тогда
(1.52)
Отсюда видно, что проницаемость барьера сильно зависит от ширины барьера d и величины U0 - E.
В случае потенциального барьера произвольной формы (рис. 1.8) проницаемость барьера выражается приближенной формулой
(1.53)
которая, как нетрудно увидеть, является обобщением формулы (1.52).
Таким образом, квантовомеханической частице для преодоления потенциального барьера необязательно иметь энергию больше, чем высота барьера. Она как бы проходит через “туннель” (заштрихованная область на рис. 1.8), расположенном на высоте E, где E - полная энергия микрочастицы. В связи с этим рассмотренное явление называют туннельным эффектом.
Рис. 1.8. Потенциальный барьер произвольной формы