- •Электроны в твердых телах Мурзакаев а.М.
- •Глава 1 Элементы квантовой механики.
- •Глава 2. Зонная теория твердых тел.
- •Глава 3. Статистика носителей заряда в твердых телах.
- •Глава 4. Электропроводность твердых тел.
- •Глава 1. Элементы квантовой механики
- •1.1. Экспериментальные и теоретические предпосылки квантовой механики
- •1.2. Гипотеза де Бройля. Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц
- •1.3. Волновая функция свободного электрона. Статистический смысл волновой функции
- •1.4. Соотношения неопределенностей Гейзенберга
- •1.5. Уравнение Шредингера
- •1.6. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме
- •1.7. Квантовый гармонический осциллятор
- •1.8. Прохождение частиц через потенциальный барьер. Туннельный эффект
- •1.9. Водородоподобные атомы
- •Глава 2 зонная теория твердых тел
- •2.1. Движение электронов в периодическом поле кристалла. Уравнение Шредингера для кристалла
- •2.2. Энергетические зоны в приближении сильной связи
- •2.3. Общие свойства волновой функции электрона в периодическом потенциале. Теорема Блоха
- •2.4. Модель Кронига-Пенни
- •2.5. Энергетические зоны в модели Кронига-Пенни
- •2.6. Заполнение энергетических зон электронами. Металлы, диэлектрики и полупроводники
- •2.7. Эффективная масса электрона в кристалле и ее физический смысл
- •2.8. Собственные полупроводники. Понятие о дырках
- •2.9. Примесные полупроводники
- •Глава 3 статистика носителей заряда в твердых телах
- •3.1. Статистическое описание коллектива частиц.
- •Функция распределения частиц по состояниям. Фермионы и бозоны
- •3.2. Функция распределения Ферми-Дирака. Уровень Ферми. Энергия Ферми. Влияние температуры на распределение Ферми-Дирака
- •3.3. Функция плотности состояний электронов и дырок
- •3.4. Концентрации электронов и дырок в полупроводнике. Закон действующих масс. Невырожденный газ электронов и дырок
- •3.5. Уровень Ферми в полупроводниках
- •3.6. Равновесные и неравновесные носители заряда. Квазиуровни Ферми
- •Глава 4 электропроводность твердых тел
- •4.1. Дрейф свободных носителей заряда в электрическом поле
- •4.2. Электропроводность металлов
- •4.3. Электропроводность собственных полупроводников
- •4.4. Электропроводность примесных полупроводников
1.6. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме
В этом и последующих разделах будут рассмотрены конкретные примеры решения некоторых наиболее важных квантово-механических задач, описывающих поведение микрочастиц в различных силовых полях. В качестве первого примера рассмотрим одномерную задачу о поведении микрочастицы, находящейся в силовом поле с распределением потенциальной энергии U(x), показанном на рис. 1.2. В этой задаче U(x) = 0 в области 0 < x < L, называемой “потенциальной ямой”, и U(x) = вне этой области. Такая простая физическая задача может быть решена аналитически точно и на ее примере можно рассмотреть вопрос о квантовании энергии микрочастицы. С другой стороны, эта физическая модель имеет применение в некоторых реальных задачах ядерной физики и физики твердого тела.
Уравнение Шредингера в одномерном случае для частицы массой m внутри прямоугольной потенциальной ямы запишется в виде
(1.29)
Будем искать общее решение уравнения (1.29) в виде
(1.30)
где k - некоторый действительный параметр, который будет определен в результате подстановки решения (1.30) в уравнение (1.29). Вычисляя вторую производную волновой функции и подставляя и в уравнение Шредингера (1.29), получим равенство, определяющее волновое число k через полную энергию микрочастицы Е:
(1.31)
Рис. 1.2. Одномерная прямоугольная потенциальная яма
Следовательно, полная энергия микрочастицы в потенциальной яме определяется ее волновым числом и массой:
(1.32)
Рассмотрим теперь поведение волновой функции на границах потенциальной ямы. В классической физике частица с конечной энергией Е не может попасть в область, где потенциальная энергия бесконечна. В квантовой механике это соответствует требованию обращения в нуль в этой области плотности вероятности w и, следовательно, самой волновой функции . В соответствии с этим требованием для нашей задачи на левой границе потенциальной ямы
Для правой границы (x=L)
Согласно формуле Эйлера , последнее граничное условие будет выполняться при значениях волнового числа
(1.33)
Следовательно, и энергия микрочастицы в потенциальной яме может принимать не любые, а строго определенные дискретные или квантованные значения:
(1.34)
Рис. 1.3. Энергия частицы в прямоугольной потенциальной яме
Энергетический спектр частицы в прямоугольной потенциальной яме схематически показан на рис. 1.3. Целое положительное число n, определяющее значение энергии частицы, называется квантовым числом. Необходимо отметить, что минимальная из возможных значений энергия частицы Е1 (n = 1) отлична от нуля. Этот результат вытекает также и из принципа неопределенностей Гейзенберга. Действительно, если бы микрочастица находилась в состоянии покоя, то она одновременно обладала бы определенными значениями координаты (x = const) и импульса p = 0, что противоречит соотношениям неопределенностей Гейзенберга.
Значения полной энергии микрочастицы En, для которых уравнение Шредингера имеет решения, называются собственными значениями энергии.
Оценим расстояние между соседними уровнями энергии для различных значений массы частицы m и ширины потенциальной ямы L. Разность энергий двух соседних уровней при n >> 1
Если масса молекулы порядка ~10-26 кг, а L порядка 10 см (молекула газа в сосуде), то разность энергий двух соседних стационарных состояний
где En – разность энергий, Дж. Столь густо расположенные энергетические уровни молекулы будут восприниматься как сплошной спектр энергии.
Результат практически не изменится, если в качестве частицы взять электрон (m ~ 10-30 кг), оставив те же размеры потенциальной ямы. Этот случай соответствует свободному электрону в металле, электрону в электронно-лучевой трубке осциллографа и т.д.:
.
Такие разности энергии между соседними уровнями так же, как и в предыдущем примере недоступны для экспериментальных измерений.
Результат получится совсем другой, если область, в пределах которой может находиться электрон, будет порядка размеров атома (~10-10 м). В этом случае
Дискретность энергетических уровней в этом случае весьма заметна.
Волновые функции, являющиеся решениями стационарного уравнения Шредингера для собственных значений энергии En называются собственными волновыми функциями. Как было показано выше, для частицы в прямоугольной потенциальной яме собственные волновые функции имеют вид
здесь С = 2i A.
Константа С находится из условия нормировки волновой функции. Это условие соответствует очевидному утверждению, что вероятность обнаружить частицу в каком-либо месте потенциальной ямы, т.е. для интервала значений , равна 1. Следовательно, условие нормировки в данном случае будет иметь вид
.
Отсюда
.
Интеграл в этом выражении, как известно, равен L/2, следовательно
.
Теперь можно в явном виде записать выражения для собственных функций частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме:
(1.35)
На рис. 1.4,а схематически показаны первые три собственные волновые функции для частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме. На рис. 1.4,б приведены соответствующие распределения плотности вероятности положения частицы в потенциальной яме:
Рис. 1.4. Графики собственных волновых функций: а - плотностей вероятностей; б - для первых трех значений квантового числа