- •Электроны в твердых телах Мурзакаев а.М.
- •Глава 1 Элементы квантовой механики.
- •Глава 2. Зонная теория твердых тел.
- •Глава 3. Статистика носителей заряда в твердых телах.
- •Глава 4. Электропроводность твердых тел.
- •Глава 1. Элементы квантовой механики
- •1.1. Экспериментальные и теоретические предпосылки квантовой механики
- •1.2. Гипотеза де Бройля. Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц
- •1.3. Волновая функция свободного электрона. Статистический смысл волновой функции
- •1.4. Соотношения неопределенностей Гейзенберга
- •1.5. Уравнение Шредингера
- •1.6. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме
- •1.7. Квантовый гармонический осциллятор
- •1.8. Прохождение частиц через потенциальный барьер. Туннельный эффект
- •1.9. Водородоподобные атомы
- •Глава 2 зонная теория твердых тел
- •2.1. Движение электронов в периодическом поле кристалла. Уравнение Шредингера для кристалла
- •2.2. Энергетические зоны в приближении сильной связи
- •2.3. Общие свойства волновой функции электрона в периодическом потенциале. Теорема Блоха
- •2.4. Модель Кронига-Пенни
- •2.5. Энергетические зоны в модели Кронига-Пенни
- •2.6. Заполнение энергетических зон электронами. Металлы, диэлектрики и полупроводники
- •2.7. Эффективная масса электрона в кристалле и ее физический смысл
- •2.8. Собственные полупроводники. Понятие о дырках
- •2.9. Примесные полупроводники
- •Глава 3 статистика носителей заряда в твердых телах
- •3.1. Статистическое описание коллектива частиц.
- •Функция распределения частиц по состояниям. Фермионы и бозоны
- •3.2. Функция распределения Ферми-Дирака. Уровень Ферми. Энергия Ферми. Влияние температуры на распределение Ферми-Дирака
- •3.3. Функция плотности состояний электронов и дырок
- •3.4. Концентрации электронов и дырок в полупроводнике. Закон действующих масс. Невырожденный газ электронов и дырок
- •3.5. Уровень Ферми в полупроводниках
- •3.6. Равновесные и неравновесные носители заряда. Квазиуровни Ферми
- •Глава 4 электропроводность твердых тел
- •4.1. Дрейф свободных носителей заряда в электрическом поле
- •4.2. Электропроводность металлов
- •4.3. Электропроводность собственных полупроводников
- •4.4. Электропроводность примесных полупроводников
4.3. Электропроводность собственных полупроводников
Рассуждения, приведенные выше при выводе формулы для электропроводности металла, справедливы как для электронов проводимости, так и для дырок. Для дырочного полупроводника удельная электропроводность дырок
, (4.13)
где p - концентрация дырок.
В общем случае удельная электропроводность определяется как электронами, так и дырками:
. (4.14)
Электронная составляющая проводимости определяется первым слагаемым в формуле (4.14), второе слагаемое связано с дырочной проводимостью полупроводника.
Величина удельной проводимости полупроводника и ее температурная зависимость зависят от концентраций носителей (электронов и дырок) и их подвижностей, которые в свою очередь определяются типом полупроводника. В собственном полупроводнике концентрации электронов и дырок одинаковы (n = p = ni = pi, где ni и pi - собственные концентрации носителей). Тогда удельная электропроводность c собственного полупроводника будет равна
. (4.15)
Электропроводность собственного полупроводника называют собственной электропроводимостью и обозначают обычно с.
Концентрация электронов в собственном полупроводнике определяется выражением (3.17). Логарифмируя это выражение, получим
. (4.16)
Первое слагаемое в этом выражении слабо зависит от температуры, поэтому график зависимости от 1/T представляет собой прямую линию (рис. 4.4).
Рис. 4.4. Температурная зависимость концентрации носителей заряда в собственном полупроводнике |
Таким образом, концентрация носителей заряда в собственных полупроводниках зависит от ширины запрещенной зоны Eg и температуры Т. Для германия, например, Eg = 0,72 эВ (при T = 300 K) и концентрация собственных носителей заряда при комнатной температуре составляет приблизительно 2,51019 м-3. Для кремния соответственно Eg = 1,1 эВ и ni = 1,5 1016 м-3.
Другим фактором, влияющим на температурную зависимость электросопротивления собственных полупроводников, является подвижность носителей заряда. Температурная зависимость подвижности носителей заряда в полупроводниках определяется механизмами рассеяния носителей в кристалле. В идеальном полупроводнике с собственной проводимостью подвижность определяется рассеянием на тепловых колебаниях решетки (фононах), поскольку идеальный собственный полупроводник - это полупроводник без примесных атомов и рассеяние на примесных атомах отсутствует. При анализе температурной зависимости подвижности необходимо учитывать, является ли газ носителей невырожденным или вырожденным при данных условиях. Теоретические расчеты и оценки температурной зависимости подвижности носителей заряда в кристаллах при различных условиях схематически представлены на рис. 4.5.
В области высоких температур подвижность обратно пропорциональна Т3/2 для невырожденного газа носителей и обратно пропорциональна Т для вырожденного газа носителей. В области низких температур подвижность невырожденного газа носителей пропорциональна Т3/2 и не зависит от температуры для вырожденного газа носителей. В любом случае степенная зависимость от температуры подвижности носителей значительно слабее экспоненциальной температурной зависимости концентрации носителей заряда в собственных полупроводниках. Вследствие этого температурную зависимость удельной электропроводности собственных полупроводников согласно выражению (4.15) в первом приближении можно представить в виде
Рис. 4.5. Температурные зависимости подвижности невырожденного и вырожденного газа носителей |
, (4.17)
где 0 - значение удельной электропроводности полупроводника при T
Логарифмируя последнее равенство, получим
. (4.18)
Таким образом, график зависимости от 1/Т представляет собой прямую линию, тангенс угла наклона которой к оси абсцисс пропорционален ширине запрещенной зоны. Это обстоятельство позволяет использовать данные по температурной зависимости электропроводности для нахождения ширины запрещенной зоны полупроводников.