- •Электроны в твердых телах Мурзакаев а.М.
- •Глава 1 Элементы квантовой механики.
- •Глава 2. Зонная теория твердых тел.
- •Глава 3. Статистика носителей заряда в твердых телах.
- •Глава 4. Электропроводность твердых тел.
- •Глава 1. Элементы квантовой механики
- •1.1. Экспериментальные и теоретические предпосылки квантовой механики
- •1.2. Гипотеза де Бройля. Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц
- •1.3. Волновая функция свободного электрона. Статистический смысл волновой функции
- •1.4. Соотношения неопределенностей Гейзенберга
- •1.5. Уравнение Шредингера
- •1.6. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме
- •1.7. Квантовый гармонический осциллятор
- •1.8. Прохождение частиц через потенциальный барьер. Туннельный эффект
- •1.9. Водородоподобные атомы
- •Глава 2 зонная теория твердых тел
- •2.1. Движение электронов в периодическом поле кристалла. Уравнение Шредингера для кристалла
- •2.2. Энергетические зоны в приближении сильной связи
- •2.3. Общие свойства волновой функции электрона в периодическом потенциале. Теорема Блоха
- •2.4. Модель Кронига-Пенни
- •2.5. Энергетические зоны в модели Кронига-Пенни
- •2.6. Заполнение энергетических зон электронами. Металлы, диэлектрики и полупроводники
- •2.7. Эффективная масса электрона в кристалле и ее физический смысл
- •2.8. Собственные полупроводники. Понятие о дырках
- •2.9. Примесные полупроводники
- •Глава 3 статистика носителей заряда в твердых телах
- •3.1. Статистическое описание коллектива частиц.
- •Функция распределения частиц по состояниям. Фермионы и бозоны
- •3.2. Функция распределения Ферми-Дирака. Уровень Ферми. Энергия Ферми. Влияние температуры на распределение Ферми-Дирака
- •3.3. Функция плотности состояний электронов и дырок
- •3.4. Концентрации электронов и дырок в полупроводнике. Закон действующих масс. Невырожденный газ электронов и дырок
- •3.5. Уровень Ферми в полупроводниках
- •3.6. Равновесные и неравновесные носители заряда. Квазиуровни Ферми
- •Глава 4 электропроводность твердых тел
- •4.1. Дрейф свободных носителей заряда в электрическом поле
- •4.2. Электропроводность металлов
- •4.3. Электропроводность собственных полупроводников
- •4.4. Электропроводность примесных полупроводников
Глава 4 электропроводность твердых тел
4.1. Дрейф свободных носителей заряда в электрическом поле
Рис. 4.1. Равновесное (а) и стационарное (б) заполнение состояний электронами в k-пространстве в постоянном электрическом поле |
Возникновение электрического тока в металле связано с дрейфом электронов проводимости во внешнем электрическом поле. В зонной теории твердых тел показано, что необходимым условием существования электропроводности кристаллов является наличие в их энергетической диаграмме частично заполненных электронами энергетических зон. При Т = 0К газ электронов в металле полностью заполняет все состояния внутри изоэнергетической поверхности в k-пространстве, соответствующей энергии Ферми. Такая поверхность в k-пространстве называется поверхностью Ферми. Поверхность Ферми отделяет при T = 0K область занятых электронных состояний в k-пространстве от области, в которой электронов нет. Для газа свободных носителей заряда поверхность Ферми представляет собой сферу (рис. 4.1, а). Положение центра сферы Ферми в начале системы координат говорит о том, что направленный перенос заряда в этом состоянии, которое называют равновесным, отсутствует.
Импульс электрона связан с его волновым вектором соотношением
, (4.1)
здесь - эффективная масса электрона.
Электрическое поле вызывает ускорение электронов и их переход
в новые состояния, лежащие правее исходных, если вектор электрического поля противоположен оси х (рис. 4.1,б.).
Уравнение движения электрона под действием электрического поля
будет иметь вид
(4.2)
Под действием постоянной силы F, действующей в течение промежутка времени t, каждый электрон, находившийся в состоянии с волновым вектором k, изменит свое состояние так, что его волновой вектор увеличится на . Таким образом, в отсутствие столкновений внешнее постоянное электрическое поле однородно смещает все точки сферы Ферми на величину k. Интегрируя уравнение (4.2), получим
. (4.3)
Вследствие приращения импульса у электронов кристалла возникает некоторое отличное от нуля приращение скорости, направленное против вектора напряженности внешнего электрического поля
(4.4)
Это приращение скорости с течением времени не будет увеличиваться до бесконечности, так как в кристалле всегда имеются процессы рассеяния электронов, стремящиеся вернуть распределение электронов по скоростям к хаотическому. Рассеяние происходит вследствие ряда причин: из-за дефектов решетки, присутствия в ней различных примесей, столкновений с другими носителями заряда, нарушений периодичности потенциала решетки в результате тепловых колебаний решетки (рассеяние на фононах) и т. д. Процессы рассеяния стремятся вернуть электроны в равновесное состояние. Если внешнее электрическое поле постоянное, то между этими двумя процессами устанавливается динамическое равновесие, наступает так называемое стационарное состояние (рис. 4.1,б). Если среднее время между двумя последовательными столкновениями равно n, то стационарное смещение сферы Ферми определяется выражением (4.3), в котором t следует заменить наn. Параметр n характеризует время, в течение которого поле действует на электрон и называется временем релаксации электронов. Следовательно, в стационарном состоянии каждый электрон имеет дополнительное приращение скорости
(4.5)
Это дополнительное к хаотическому тепловому движению электронов движение под действием электрического поля называется дрейфом электронов. Оценки скорости дрейфа электронов в кристалле меди в полях напряженности Е = 10-8 В/м дают величину vдр 0,3 м/с. Это намного порядков ниже скорости теплового хаотического движения электронов в отсутствии поля (1,6106 м/с). Поэтому с приложением поля средняя скорость электронов в проводнике остается практически неизменной.
Важной характеристикой кристалла, определяющей величину плотности электрического тока в нем, является подвижность носителей заряда (электронов и дырок). Подвижностью называют величину, равную отношению скорости дрейфа электронов или дырок к напряженности электрического поля. Для электронов подвижность
, (4.6)
для дырок
, (4.7)
где p и - время релаксации и эффективная масса дырки соответственно. Таким образом, подвижность - это дрейфовая скорость, приобретенная носителями заряда в электрическом поле единичной напряженности.