3.3. Функция плотности состояний электронов и дырок

 

Для определения числа частиц, имеющих энергию в заданном интервале, необходимо, кроме функции распределения , знать функцию плотности состояний . Эта функция описывает распределение уровней в соответствующих зонах и определяет число уровней, приходящихся на единичный интервал энергии. По определению

(3.8)

Здесь, как и раньше, dZ - число возможных состояний ансамбля частиц (число уровней) с энергией, заключенной в интервале от E до E+dE. Функцию g(E) вычислим для кубического кристалла со стороной L. Энергия электрона у дна зоны проводимости приближенно может быть представлена в виде

(3.9)

здесь энергия дна зоны проводимости,  - эффективная масса электрона у дна зоны проводимости, k - квазиимпульс электрона, - его компоненты. Согласно граничным условиям, компоненты квазиимпульса могут принимать только следующие дискретные значения энергии:

 

Каждому набору чисел n_x, n_y, n_z отвечает некоторое квантовое состояние (квантовый уровень). В пространстве волновых векторов каждому квантовому состоянию соответствует объем , где V - объем кристалла. Эти элементарные кубические ячейки займут в пространстве волновых чисел объем шара радиусом k, соответствующего максимально возможному значению модуля волнового вектора. Выделим шаровой слой, заключенный между двумя поверхностями k = const и k+dk = const. Объем этого слоя составляет . Разделив этот объем на объем элементарной ячейки и умножив на 2, поскольку в каждом состоянии могут находиться по два электрона с противоположно направленными спинами, получим число состояний в объеме шарового слоя:

. (3.10)

Согласно (3.9)

 

Подставляя значения k² и dk в формулу (3.10), получим

.

Учитывая (3.8), получим окончательное выражение для плотности квантовых состояний электронов у дна зоны проводимости:

(3.11)

Энергию дырок у потолка валентной зоны можно записать также в виде параболического закона:

(3.12)

где E_v - энергия потолка валентной зоны, - эффективная масса дырки. Вычисления, аналогичные тем, которые были проведены выше для электронов, приводят к следующему выражению для функции плотности состояний дырок вблизи потолка валентной зоны:

(3.13)

Следует подчеркнуть, что формулы (3.11) и (3.13) справедливы только для состояний вблизи экстремумов энергии, т.е. у дна или потолка энергетической зоны. В средней же части зоны точный вид функции g(E) неизвестен. На рис. 3.4 схематически представлены зависимости плотности квантовых уровней вблизи дна зоны проводимости и потолка валентной зоны.

 

Рис. 3.4. Плотность уровней в зоне проводимости и в валентной зоне   Площадь заштрихованных областей пропорциональна числу уровней в интервале энергий dE

3.4. Концентрации электронов и дырок в полупроводнике. Закон действующих масс. Невырожденный газ электронов и дырок

Вычислим концентрацию электронов в зоне проводимости полупроводника. Число электронов dN, находящихся в dZ состояниях энергетической зоны в соответствии с уравнением (3.1) определяется выражением

.

Учитывая, что dZ = g(E) dE, получим

. (3.14)

Общее число электронов в зоне проводимости найдем, проинтегрировав выражение (3.14) в пределах зоны

, (3.15)

здесь Е_п - энергия потолка зоны проводимости. Поскольку функция распределения Ферми-Дирака очень быстро уменьшается с увеличением энергии, то верхний предел интегрирования можно взять равным бесконечности. Если степень заполнения энергетических состояний электронами в зоне проводимости мала (f(E) << 1), что практически всегда имеет место в полупроводниках, то единицей в знаменателе формулы (3.4) можно пренебречь. При этих условиях подстановка функций f(E) и g(E) в уравнение (3.15) приводит к следующему выражению для концентрации электронов в зоне проводимости:

. (3.16)

Преобразуем теперь выражение (3.16) к виду

.

Произведем замену переменных в подынтегральном выражении

 

В результате получим

.

Интеграл в этом выражении равен . Следовательно

(3.17)

где

. (3.18)

Величину N_c называют эффективной плотностью состояний в зоне проводимости. Это название связано с тем, что полная концентрация электронов, распределенных в действительности в определенном энергетическом интервале в зоне проводимости, такая же, как если бы зона была занята N_c уровнями, обладающими одной и той же энергией Е_c.

Аналогично можно вычислить концентрацию дырок в валентной зоне. Поскольку вакантное состояние в валентной зоне образуется в результате перехода электрона из этого состояния в зону проводимости, то вероятность того, что состояние с энергией Е в валентной зоне не занято, равна .

Тогда концентрация дырок

здесь E_v - потолок валентной зоны.

При условии, что газ дырок невырожденный, получим

(3.19)

где эффективная плотность состояний в валентной зоне

. (3.20)

Перемножая выражения (3.17) и (3.19), получим

(3.21)

где n_i - концентрация собственных носителей заряда в полупроводнике, E_g= E_c  E_v - ширина запрещенной зоны.

Соотношение (3.21) называется законом действующих масс. При выводе этого закона использовано предположение о том, что степень заполнения энергетических уровней носителями заряда много меньше единицы. Такой газ носителей называется невырожденным, а полупроводники - невырожденными.

В общем случае вырожденным газом в физике называется газ, свойства которого отличаются от свойств классического идеального газа вследствие квантово-механических свойств частиц газа. Вырожденный газ подчиняется квантово-механическим статистикам Ферми-Дирака или Бозе-Эйнштейна, невырожденный газ - статистике Маквелла-Больцмана. Условием перехода газа в невырожденное состояние является выполнение неравенства f(E) << 1. Можно показать, что это условие для электронного газа эквивалентно следующему соотношению:

(3.22)

Аналогичное соотношение справедливо и для дырок с заменой n на p и  на.

Вопрос о том, является газ носителей заряда в кристалле вырожденным или невырожденным определяется только его концентрацией и температурой. Подстановка численных значений величин, входящих в неравенство (3.22), приводит к выводу о том, что при комнатной температуре (Т ~ 300К) газ носителей будет невырожденным, если его концентрация значительно меньше 10²⁵ м^-3. Это условие выполняется практически для всех полупроводников. Поскольку концентрация электронов в зоне проводимости металлов превышает 10²⁸ м^-3, то электронный газ металлов всегда является вырожденным.

Таким образом, закон действующих масс выполняется для любого невырожденного полупроводника независимо от роли примесей, т.е. в любом невырожденном полупроводнике увеличение концентрации носителей одного знака приводит к уменьшению концентрации носителей противоположного знака. Следует отметить также, что произведение электронной и дырочной концентраций не зависит от положения уровня Ферми.