- •Электроны в твердых телах Мурзакаев а.М.
- •Глава 1 Элементы квантовой механики.
- •Глава 2. Зонная теория твердых тел.
- •Глава 3. Статистика носителей заряда в твердых телах.
- •Глава 4. Электропроводность твердых тел.
- •Глава 1. Элементы квантовой механики
- •1.1. Экспериментальные и теоретические предпосылки квантовой механики
- •1.2. Гипотеза де Бройля. Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц
- •1.3. Волновая функция свободного электрона. Статистический смысл волновой функции
- •1.4. Соотношения неопределенностей Гейзенберга
- •1.5. Уравнение Шредингера
- •1.6. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме
- •1.7. Квантовый гармонический осциллятор
- •1.8. Прохождение частиц через потенциальный барьер. Туннельный эффект
- •1.9. Водородоподобные атомы
- •Глава 2 зонная теория твердых тел
- •2.1. Движение электронов в периодическом поле кристалла. Уравнение Шредингера для кристалла
- •2.2. Энергетические зоны в приближении сильной связи
- •2.3. Общие свойства волновой функции электрона в периодическом потенциале. Теорема Блоха
- •2.4. Модель Кронига-Пенни
- •2.5. Энергетические зоны в модели Кронига-Пенни
- •2.6. Заполнение энергетических зон электронами. Металлы, диэлектрики и полупроводники
- •2.7. Эффективная масса электрона в кристалле и ее физический смысл
- •2.8. Собственные полупроводники. Понятие о дырках
- •2.9. Примесные полупроводники
- •Глава 3 статистика носителей заряда в твердых телах
- •3.1. Статистическое описание коллектива частиц.
- •Функция распределения частиц по состояниям. Фермионы и бозоны
- •3.2. Функция распределения Ферми-Дирака. Уровень Ферми. Энергия Ферми. Влияние температуры на распределение Ферми-Дирака
- •3.3. Функция плотности состояний электронов и дырок
- •3.4. Концентрации электронов и дырок в полупроводнике. Закон действующих масс. Невырожденный газ электронов и дырок
- •3.5. Уровень Ферми в полупроводниках
- •3.6. Равновесные и неравновесные носители заряда. Квазиуровни Ферми
- •Глава 4 электропроводность твердых тел
- •4.1. Дрейф свободных носителей заряда в электрическом поле
- •4.2. Электропроводность металлов
- •4.3. Электропроводность собственных полупроводников
- •4.4. Электропроводность примесных полупроводников
2.8. Собственные полупроводники. Понятие о дырках
Из структуры энергетических зон полупроводников следует, что при абсолютном нуле они не проводят электрического тока. Нагревание их приводит к тому, что часть электронов валентной зоны приобретает энергию, достаточную для их перехода в зону проводимости, в результате чего появляется заметная электропроводность. С увеличением температуры число электронов в зоне проводимости увеличивается и вместе с этим растет электропроводность полупроводника. Тепловое возбуждение электронов проводимости иллюстрирует рис. 2.12. Ес и Еv обозначают дно зоны проводимости и потолок валентной зоны соответственно. Кроме температуры, возбуждение электронов проводимости может происходить и под действием других факторов, способных сообщить электронам энергию, достаточную для перехода их в зону проводимости. Этими факторами могут быть световое облучение, ионизирующее излучение и др.
|
|
|
Рассмотренный выше механизм возникновения электропроводности полупроводниковых кристаллов, справедлив для абсолютно чистых материалов, не содержащих примесей, влияющих на электропроводность. Такие полупроводники называются собственными, а их электропроводность собственной электропроводностью. К собственным полупроводникам относятся кристаллы чистых химических элементов, таких как германий (Ge), кремний (Si), селен (Se), теллур (Te) и др., а также некоторые химические соединения: арсенид галлия (GaAs), арсенид индия (InAs), антимонид индия (InSb), карбид кремния (SiC) и многие другие.
|
|
|
В разделе 2.8 показано, что электроны, расположенные у по-толка энергетической зоны, об-ладают отрицательной эффектив-ной массой. Именно такие электроны, расположенные у вершины валентной зоны, переходят в зону проводимости и участвуют в электропроводности полупроводника. Каждому электрону, перешедшему в зону проводимости, в валентной зоне соответствует незанятое (вакантное) состояние, которое называют дырочным состоянием. Дырочные состояния изображены на рис. 2.12 светлыми кружками. Наличие вакансий в валентной зоне позволяет электронам этой зоны изменять свое энергетическое состояние под действием внешнего электрического поля. Рассмотрим подробнее этот процесс на примере кристалла, в котором имеется одно вакантное состояние. В отсутствие электрического поля это состояние будет находиться в вершине зоны, т.к. электроны стремятся расположиться на уровнях с наименьшей энергией (рис. 2.13,а). Занятые электронами состояния изображены на рис. 2.13 точками и расположены на дисперсионной кривой, описывающей зависимость энергии электрона от компоненты волнового вектора kx. У вершины энергетической зоны эта кривая приблизительно описывается параболой. Если к полупроводнику приложить внешнее электрическое поле Е (пусть для определенности оно будет направлено вдоль положительного направления оси х, рис. 2.13,б) , то у каждого электрона х-компонента волнового вектора kx одновременно получит отрицательное приращение. Этот вывод следует из уравнения движения, одинакового для каждого электрона:
. (2.20)
Следовательно, электроны валентной зоны будут перемещаться в направлении, указанном стрелкой на рис. 2.13,б. Вакантное состояние в результате этого движения электронов вначале переместится в точку Е, а затем - в точку D и т.д. Таким образом, последовательное перемещение электронов по энергетическим уровням под влиянием электрического поля эквивалентно перемещению вакантного состояния. Квантовое состояние, не занятое электроном в энергетической зоне, называется дыркой. Суммарный волновой вектор электронов в полностью заполненной энергетической зоне равен нулю, поскольку дисперсионная кривая симметрична относительно точки k = 0 и каждому электрону с волновым вектором k всегда найдется электрон с противоположным по знаку волновым вектором k. Если из состояния с волновым вектором ke удален электрон, то полный волновой вектор системы станет равным ke. Таким образом, дырке следует приписать волновой вектор
. (2.21)
Учитывая (2.20) и (2.21), уравнение движения дырки будет иметь вид
. (2.22)
Это уравнение движения положительного заряда в электрическом поле. Поскольку дырка перемещается вдоль направления действующей на нее силы, то этой частице следует приписать положительную эффективную массу, равную по абсолютному значению отрицательной эффективной массе электрона, покинувшего вакантное состояние у потолка валентной зоны.
Вычислим ток, создаваемый электронами полностью заполненной энергетической зоны. Вклад в плотность тока от одного электрона, движущегося со скоростью vj равен
.
Ток всех электронов валентной зоны равен сумме токов отдельных электронов:
.
Суммирование производится по всем состояниям, занятым электронами. Поскольку дисперсионные кривые симметричны, каждому электрону с ненулевым значением скорости в положительном направлении всегда найдется электрон с равной по абсолютному значению, но противоположно направленной скоростью. Следовательно, сила тока, создаваемого электронами полностью заполненной зоны, будет равна нулю.
Если в валентной зоне заняты все состояния, кроме одного, характеризующегося волновым вектором ks и скоростью vs (рис. 2.13,г), то суммарную плотность тока в этом случае можно представить в следующем виде:
.
В этой формуле учтено, что первое слагаемое в силу симметричности состояний электронов равно нулю.
Таким образом, движение электронов валентной зоны, в которой есть одно вакантное состояние, эквивалентно движению одной частицы с положительной эффективной массой и положительным электрическим зарядом, помещенной в это состояние.