Электроны в твердых телах Мурзакаев а.М.

Электроны в твердых телах: Учебное пособие по курсу “Физическая электроника”.  Екатеринбург

В учебном пособии рассматриваются вопросы зонной теории твердых тел, статистики носителей заряда в твердых телах, механизмов электропроводности металлов и полупроводников. Первая глава посвящена основам квантовой механики, понимание которых необходимо для дальнейшего усвоения материала.

Для студентов физического факультета УрГУ специальности “Фундаментальная радиофизика и физическая электроника”.

Институт электрофизики УрО РАН

2007

СОДЕРЖАНИЕ

Глава 1 Элементы квантовой механики.

1. Экспериментальные и теоретические предпосылки квантовой механики.

2. Гипотеза Луи де Бройля. Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц.

3. Волновая фунцция свободного электрона. Статистический смысл волновой функции.

4. Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

5. Уравнение Шредингера.

6. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме.

7. Квантовый гармонический осциллятор.

8. Прохождение частиц через потенциальный барьер. Туннельный эффект.

9. Атом водорода.

Глава 2. Зонная теория твердых тел.

2.2. Движение электронов в периодическом поле кристалла. Уравнение Шредингера для кристалла.

2.2. Энергетические зоны в приближении сильной связи.

2.3. Общие свойства волновой функции электронаа в периодическом потенциале. Теорема Блоха.

2.4. Модель Кронига-Пени.

2.5. Энергетические зоны модели Кронига-Пени.

2.6. Заполнение энергетических зон электронами. Металлы, полупроводники и диэлектрики.

2.7. Эффективная масса электрона в кристалле и ее физический смысл.

2.8. Собственные полупроводники. Понятие о дырках. Примесные полупроводники.

Глава 3. Статистика носителей заряда в твердых телах.

3.1. Статистическое описание коллектива частиц. Функция распределения частиц по состояниям. Фермионы и бозоны.

3.2. Функция распределения Ферми-Дирака. Уровень Ферми. Энергия Ферми. Влияние температуры на распределение Ферми-Дирака.

3.3. Функция плотности состояний электронов и дырок.

3.4. Концентрация электронов и дырок в полупроводнике. Закон действующих масс. Невырожденный газ электронов и дырок.

3.5. Уровень Ферми в полупроводниках.

3.6. Равновесные и неравновесные носители заряда. Квазиуровни Ферми.

Глава 4. Электропроводность твердых тел.

4.1. Дрейф свободных носителей заряда в электрическом поле.

4.2. Электропроводность металлов.

4.3. Электропроводность собственных полупроводников.

4.4. Электропроводность примесных полупроводников

Литература.

Глава 1. Элементы квантовой механики

1.1. Экспериментальные и теоретические предпосылки квантовой механики

Теоретическим фундаментом физической электроники являются современные представления о поведении электронов, атомов и молекул, взаимодействующих между собой и с внешними силовыми полями. Многие свойства свободных частиц и многие физические процессы с участием этих частиц могут быть поняты только на основе квантово-механического описания состояния этих объектов.

Три основные проблемы, стоящие в центре внимания физиков в конце XIX - начале ХХ вв. – это проблема излучения абсолютно черного тела, проблема фотоэлектрического эффекта и проблема строения и стабильности атомов - привели в конечном итоге к созданию современных представлений о природе микрочастиц - объектов, подчиняющихся законам квантовой механики.

Проблема теплового излучения абсолютно черного тела возникла в связи с невозможностью объяснить с позиций классической физики зависимость интенсивности излучения абсолютно черного тела от длины электромагнитной волны. В частности, из законов классической физики следовал вывод о том, что интенсивность излучения должна монотонно расти с частотой и, следовательно, полное излучение должно быть бесконечно большим. Это означает также, что при любой температуре тепловое равновесие между излучением и веществом невозможно, что противоречит опыту.

В 1900 году М. Планку удалось вывести закон излучения абсолютно черного тела, снимающий эту проблему. Для этого ему необходимо было предположить, что осциллятор с собственной частотой может получать или отдавать энергию только порциями (квантами), минимальная величина которых равна

, (1.1)

здесь ћ - новая фундаментальная константа, ћ = 1,054·10^-34 Дж·с.

Постоянная Планка является универсальной количественной характеристикой минимального воздействия между объектами природы, т. е. элементарным квантом действия. Гипотеза Планка явилась по существу распространением принципа атомизма на воздействие материальных объектов друг на друга. Так же как существует неделимая минимальная порция элемента, сохраняющая все его химические свойства, - атом и элементарный заряд, играющий роль "кванта", т. е. неделимой, минимальной порции заряда, так же существует минимальная "порция", "атом" или квант действия, равный и для воздействия материальных объектов друг на друга. В этом физический смысл гипотезы Планка. Ввиду малости величины ћ квантовый характер воздействия не проявляется для макроскопических тел, так же как не проявляются дискретность массы и заряда в опытах с макроскопическими телами.

На основании своей гипотезы М. Планк получил формулу для плотности энергии электромагнитного излучения абсолютно черного тела:

, (1.2)

где с - скорость света; k - постоянная Больцмана; Т - абсолютная температура.

Число

,(1.3)

определяет среднее число квантов теплового излучения, приходящихся на данный тип колебаний.

Проблема фотоэффекта связана с существованием его красной границы по частоте и экспериментальным фактом, что кинетическая энергия фотоэлектронов не зависит от интенсивности света, а зависит только от его частоты. С классической точки зрения увеличение интенсивности света приводит к возрастанию амплитуды электромагнитной волны и, следовательно, электроны в металле в результате взаимодействия с этой волной должны ускоряться до больших скоростей увеличивая свою кинетическую энергию.

Явление фотоэффекта было объяснено в 1905 г. А. Эйнштейном, который, развивая идею М. Планка, предположил, что энергия в пучке монохроматического света состоит из квантов, величина которых равна , где - частота света. Тем самым дискретность энергии осциллятора связана с более фундаментальным фактом - само электромагнитное излучение состоит из отдельных квантов, несущих энергию . Это предположение приводит к известной формуле Эйнштейна для фотоэффекта:

, (1.4)

где Е_к - кинетическая энергия фотоэлектрона; W - работа выхода электрона из данного вещества; - энергия кванта электромагнитного поля - фотона.

С точки зрения классических законов физики непонятна устойчивость атома и линейчатый характер атомных спектров. Электрон в планетарной модели атома, установленной в 1910 г. Э. Резерфордом, как имеющий заряд движущийся с ускорением, должен по законам классической электродинамики излучать энергию в виде электромагнитных волн, терять скорость и в конце концов упасть на ядро. Время падения электрона порядка 10^-9 с (1 нс). Совокупность таких атомов должна давать сплошной спектр излучения, а не линейчатый, наблюдаемый на опыте.

Успех в устранении этих противоречий был достигнут Н. Бором в 1913 г., когда он распространил идеи Планка и Эйнштейна о квантовых свойствах электромагнитного излучения на атомы вещества. Н. Бор первым понял, что дискретные значения энергии не столько связаны с электромагнитным излучением или поглощением энергии атома, а являются его внутренним фундаментальным свойством. Свои выводы он сформулировал в виде известных постулатов - постулата о стационарных орбитах электронов в атоме, на которых электрон может находиться бесконечно долго не теряя энергию, и постулата, определяющего частоту излучения или поглощения электромагнитной энергии при переходе электрона в атоме с одной стационарной орбиты на другую.

Следует отметить, что в атоме Бора и квантование энергии атома, и требование стационарности орбит было связано с постоянной Планка. Стало понятным, что постоянная Планка и связанного с ней понятие элементарного кванта действия играют фундаментальную роль при описании поведения микрообъектов.