3.6.4. Узагальнений метод найменших квадратів (у.М.Н.К.) або метод Ейткена
Якщо за допомогою критеріїв, розглянутих у попередньому параграфі, установлена наявність автокореляції в залишках необхідно, як було помічено раніше, або поліпшити специфікацію моделі або знайти адекватний спосіб перерахування коефіцієнтів регресії у моделі.
Зупинимося на другому питанні. Найбільш ефективним способом оцінювання параметрів у регресивних рівняннях з автокорельованими залишками є узагальнений М.Н.К. або метод Ейткена.
Припустимо, що коваріаційна матриця залишків позитивно визначена і має вигляд
, (3.39
)
де К - невироджена квадратна матриця порядку m
Тоді
(3.40)
і коваріаційна матриця
помилок К-1
діагональна.
Дійсно
(3.41
)
Отже, до перетвореного рівняння (3.40) можна застосувати звичайний М.Н.К.
(3.42
)
Якщо залишки uj утворять авторегресію i-го порядку (див. 3.27), то як автокореляційну матрицю помилок V можна взяти
(3.43
)
Виникає питання перебування
і .
Їх оцінки
можна одержати наступним способом:
1) обчислити параметри, коефіцієнти â рівнянні регресії, за допомогою М.Н.К.;
2) потім знайти за формулою (3.24) значення залишків uj;
3) знайти за формулою
оцінку
,
якщо
і
,
якщо
=0
4) знайти оцінку , за формулою
(3.44
)
при
,
де
і
(3.45)
При
=0
Зауваження
2. Можна показати, що
,
якщо М.Н.К. застосовувався до лінеарізованої
моделі типу (2.3), отриманої з нелінійної
моделі (1.9) шляхом логарифмування.
3.7. Довірчі інтервали регресії і прогнозу
Нехай у результаті застосування розглянутої вище методики отримана адекватна лінійна регресивна модель, що описує залежність показника у від факторів xk.
(3.46
)
Тому що
-
незміщені
оцінки
деяких невідомі параметрів, тобто
випадкові величини,
то і
- випадкова величина,
причому М(
)
= у, де у - істинне
значення показника.
Можна показати, що
де 
-
коваріаційна
матриця оцінок
-
набір значень факторів.
У силу (3.18) вибіркова дисперсія
розрахункового значення
.
Можна показати, що
(3.47)
Тоді “правдиве” значення у лежить у межах [2]
, (3.48
)
де ta
(m-n-1) - табличне значення розподілу
Стьюдента
для числа ступенів свободи
m-n-1 і рівня значимості
.
Під прогнозним значенням у
можна розуміти (3.46). Довірчий інтервал
у цьому випадку відповідає довірчому
інтервалу (3.48). Однак більш природньо
до прогнозного значення у включити і
можливий відхил
від регресії. У цьому випадку до дисперсії
необхідно додати і дисперсію S2зал..
Тоді дисперсія прогнозного значення в
складі:
, (3.49
)
Довірчі інтервали для індивідуальних прогнозних значень у рівні
(3.50
)
Зауваження 3. Як і всі розрахунки, розрахунки інтервалів надійності легше виконувати для стандартизованої моделі.
Тому що для
,
то для стандартизованої моделі
і
формули (3.48) і (3.49) мають вигляд
(3.51
)
(3.52
)
R - кореляційна матриця системи
векторів, а ty,
- їхні нормалізовані
значення за (2.12)
Після того, як будуть знайдені довірчі інтервали для
,
знаходяться довірчі інтервали для у
або
(3.53)