6.2. Задача о замене оборудования

Известна стоимость нового оборудования C денежных единиц. Эксплуатация оборудования возраста t лет в течение года приносит доход φ(t) денежных единиц. Требуется определить оптимальную политику замены оборудования таким образом, чтобы доход, полученный при эксплуатации нового оборудования в течение n лет, был максимальным.

Рассмотрим задачу об оптимальном использовании скрепера ДЗ-77 на мерзлых грунтах (4-я категория) севера Западной Сибири.

Известен доход по каждому году эксплуатации скрепера (табл.6.5) и оптовая цена 24 тыс. рублей (по состоянию на 1 января 1988 года).

Таблица 6.5

Исходная информация

Возраст оборудования (лет)	0	1	2	3	4	5	6
Доход за год (тыс.руб.)	270	256	251	246	242	236	230

Требуется определить оптимальную политику замен скрепера таким образом, чтобы доход, полученный за 7 лет эксплуатации, был максимальным.

Предположим, что решение – заменить или оставить оборудование – принимаем в начале каждого года.

Введем функцию Беллмана f_k (t)– максимальный доход, который может быть получен при эксплуатации скрепера возраста t в течение k лет при оптимальной политике замены.

Составим первое уравнение Беллмана.

Пусть f₁(t) – максимальный доход, который может быть получен при эксплуатации скрепера возраста t в течение 1 года.

Если в начале года примем решение сохранить оборудование, то доход будет равен φ(t).

Если в начале года примем решение заменить скрепер, то должны потратить на покупку нового скрепера С рублей, а доход, который принесет эксплуатация нового скрепера в течении года, равен φ(0).

Таким образом, доход, полученный в случае замены скрепера в течение года, равен: -С+ φ(0).

Отсюда

(6.5)

Выведем функциональное уравнение Беллмана для функции f_k+1(t).

Предположим, что в начале первого года эксплуатации скрепера было принято решение сохранить его, тогда доход за 1 год эксплуатации составит φ(t).

По истечении года возраст оборудования будет равен t+1 год, а срок оставшейся эксплуатации скрепера равен k лет. В соответствии с принципом оптимальности, необходимо постараться получить за оставшиеся k лет максимальный доход, т.е. f_k (t+1).

Итак, если вначале срока эксплуатации сохранить скрепер, то доход за k+1 год составит сумму φ(t)+ f_k (t+1).

Предположим, что в начале рассматриваемого года принято решение заменить скрепер, тогда, потратив С д.ед. на покупку нового скрепера, получим за год эксплуатации доход φ(0). Через год возраст скрепера будет равен одному году, срок оставшейся эксплуатации к лет и максимальный доход, который можно получить за оставшиеся к лет составит f_k (1). Значит, за к+1 год в случае «замены» доход будет равен: -С+ φ(0)+ f_k (1).

Для определения функции f_k+1(t) необходимо выбрать наибольшее из чисел: φ(t)+ f_k (t+1); -С+ φ(0)+ f_k (1),

т.е. (6.6)

Это и есть функциональное уравнение Беллмана. .

Поскольку в условии задачи требуется определить максимальный доход за 7 лет эксплуатации скрепера, то необходимо вычислить функции: f_1, f_2, f_3,…, f_7.

Расчет по уравнению Беллмана удобно представить в рабочей таблице (табл.6.6).

Таблица 6.6

Расчетная матрица

Исходная инф-я

f1(t)

Ре-ше-ние

f2(t)

Ре-ше-ние

f3(t)

Ре-ше-ние

f4(t)

Ре-ше-ние

f5(t)

Ре-ше-ние

f6(t)

Ре-ше-ние

f7(t)

Ре-ше-ние

t

φ(t)

0 1 2 3 4 5 6

270 256 251 246 242 236 230

270 256 251 246 246 246 246

С С С С/3 3 3 3

526 507 502 502 502 502 -

С С 3 3 3 3 -

777 758 753 753 753 - -

С С 3 3 3 - -

1028 1009 1004 1004 - - -

С С 3 3 - - -

1279 1260 1255 - - - -

С С С/3 - - - -

1530 1511 - - - - -

С С - - - - -

1781 - - - - - -

С - - - - - -

Так как доход (270) от старого оборудования больше, то принимаем в начале года решение сохранить оборудование и записываем в таблицу 6.6 результат f₁(0)=270 и «Сохранить».

f₁ (t = 1) = max ( (1); 246) = max (256;246) = 256.

Результат f₁(1)=256 и решение «Сохранить», т.к. снова доход от старого оборудования больше.

f₁ (t = 2) = max ( (2); 246) = max (251; 246) = 251.

Результат f₁(2)=251 и решение «Сохранить».

f₁(t = 3) = max((3); 246) = max(246; 246) = 246.

Результат f₁(3) = 246 и решение C/З «Сохранить» или «Заменить».

f₁(t =4) = max((4); 246) = max(242; 246) = 246.

Результат f₁(4)=246 и решение З «Заменить», т.к. доход от нового оборудования больше.

f₁(t = 5) = max((5); 246) = max(236; 246) = 246.

Результат f₁(5)=246 и решение «Заменить».

f₁(t = 6) = (230; 246) = 246.

Результат f₁(6)=246 и решение «Заменить»

Затем записываем функциональное уравнение Беллмана для f₂(t)

(6.7)

Сумма: -С+φ(0)+ f₁ (1)=-24+270+256=502 –доход от нового оборудования.

Вычисляя по формуле (6.7) f₂(t), принимаем решение и записываем в рабочую таблицу. При t=6 ставим прочерк, так как счет по формуле прекращен – оборудование имеет возраст вне рассматриваемого срока.

Аналогично вычисляем f₃(t), f₄(t), f₅(t), f₆(t) и f₇(t) по формулам:

; (6.8)

; (6.9)

(6.10)

; (6.11)

(6.12)

Для выбора ответа составим таблицу 6.7 в лексикографическом стиле (построчно).

Таблица 6.7

Результаты расчета

Год эксплуатации	Возраст оборудования t	Год оставшейся эксплуатации рассматриваемого срока (7 лет)	Функция Беллмана	Решение
Первый Второй Третий Четвертый Пятый Шестой Седьмой	0 1 2 3 1 2 1	7 6 5 4 3 2 1	f7(0) f6(1) f5(2) f4(3) f3(1) f2(2) f2(1)	сохранить сохранить с/з=сохранить заменить сохранить заменить сохранить

Выбор ответа, т.е. оптимальная политика замены скрепера определяется следующим образом (см. табл.6.7). Таблица заполняется по строкам. В начале первого года эксплуатации возраст скрепера составит 0 лет, срок оставшейся эксплуатации 7 лет; функция Беллмана f₇(0). В табл. 6.6 найдено решение – сохранить. Эта информация записывается в первой строке.

Так как принято решение сохранить скрепер в начале года, то возраст его в начале второго года эксплуатации составит 1 год, срок оставшейся эксплуатации 6 лет, функция Беллмана запишется f₆(1), соответствующее решение в таблице 6.6 «сохранить». Так продолжаем заполнять каждую строку, учитывая предыдущее решение. Для удобства рекомендуется использовать оптимальную шкалу замены скрепера. При такой политике замены скрепера доход за 7 лет эксплуатации составит в среднем 1 млн. 781 тыс. рублей.

Оптимальные шкалы эксплуатации оборудования строятся для наглядности полученного результата в таблице 6.7 и удобства практического использования.

Итак, оптимальная политика эксплуатации оборудования:

Если в начале третьего года при равных доходах от старого и нового скрепера принять решение «сохранить», то все равно нужно через год его заменить.

С С С З С З С t (возраст)

0 1 2 3 4 5 6 7

пер вто- тре- четве пя - шес- седь-

вый рой тий ртый тый той мой

год

Если в начале третьего года при равных доходах от старого и нового скрепера принять решение «заменить» , то нужно через два года его заменить

С С З С З С С t (возраст)

0 1 2 3 4 5 6 7

пер вто- тре- четве пя - шес- седь-

вый рой тий ртый тый той мой

год

Вопросы для самоконтроля

1. Каков смысл функции Беллмана в задаче о замене оборудования?

2. Когда принимается решение «сохранить» или «заменить» оборудование?

3. Какова особенность первого уравнения Беллмана в задаче о замене оборудования?

4. В чем суть принципа оптимальности, положенного в основу вывода функционального уравнения Беллмана в задаче о замене оборудования?

5. Как построить шкалу оптимальных решений «сохранить» или «заменить» оборудование?